Ik heb me zorgen gemaakt over de motivatie achter het definiëren van een viersnelheid. In Schutzs Een eerste cursus in Algemene relativiteitstheorie , gebruikt hij het concept van een tangensvector op elk punt van een wereldlijn van een deeltje gegeven door $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . En later stelt hij dat
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
De wiskundige verklaring die ik vond voor het gebruik van de juiste tijd als de parameter waarmee alle waarnemers het eens zijn, maar ik kan niet beseffen welke problemen we krijgen met deze definitie gebruiken we de relatie
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {equation}
waarbij $ t $ de tijdsmeting is in een of ander traagheidsframe S.
Reacties
- Ik ' denk niet dat je ' deze vraag zou stellen in de Euclidische ruimte. Beschouw een curve $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Dan kan men de raakvectoren schrijven als $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. OF we kunnen uw laatste suggestie volgen en $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $ gebruiken. De tangensvector zal nog steeds de goede kant op wijzen, maar niet meer r is mooi gedefinieerd en de definitie staat je niet langer toe om te roteren op een manier die de coördinaten door elkaar haalt, aangezien het $ x $ uitkiest.
- Staat het boek niet ergens uit dat de vier-snelheid is gedefinieerd op die manier zodat het een Lorentz-viervector is?
- @ jacob1729 kun je me een voorbeeld geven? Ik ' ben behoorlijk in de war met dit onderwerp
Antwoord
@Milan heeft de technische problemen van uw definitie al beantwoord.
Ik wil graag wijzen op conceptuele problemen. We zouden willen dat de 4-snelheid op de een of andere manier de beweging van een object door de ruimtetijd karakteriseert. Conceptueel is het logisch om te eisen dat een dergelijke hoeveelheid alleen afhangt van de hoeveelheden die rechtstreeks verband houden met die beweging. Dus het zou een conceptueel rare beslissing zijn om de tijd van een willekeurige waarnemer die niets te maken heeft met de beweging van het object naar binnen te brengen. Het is logisch om de 4-snelheid te definiëren als raakvector aan de wereldlijn van het object, omdat deze wiskundige entiteit direct verbonden is met het en dus ook met de beweging van objecten. Natuurlijk hebben we enige parametrisering van de wereldlijn nodig, die idealiter natuurlijk zou zijn voor de wereldlijn / beweging zelf en niet afhankelijk is van externe grootheden. Aangezien in de ruimtetijd elk object zijn eigen klokken heeft, deze curve wordt natuurlijk geparametriseerd door de klok van het object zelf, dat wil zeggen tegen de juiste tijd.
Merk op dat je op deze manier helemaal niet over de Lorentz-groep hoeft te praten. Toen ik voor het eerst hoorde over 4-snelheid, voelde de beslissing om de juiste tijd in de afgeleide te gebruiken voor mij als een willekeurige beslissing om alleen een Lorentz 4-vector te maken. Maar het heeft eigenlijk diepere geometrische redenen, zoals ik probeerde uit te leggen.
Reacties
- Kun je een relativiteitsboek aanbevelen dat deze onderwerpen uitlegt zoals jij hebt uitgelegd?
- @Lil ' Zwaartekracht niet echt, maar ik kan je drie boeken geven die voor mij persoonlijk opvallen. Misner, Wheeler, Thorne – Zwaartekracht legt de algemene relativiteitstheorie en differentiële meetkunde op zeer intuïtief niveau uit – samen met fysieke motivaties voor de meeste wiskunde, en Wald – Algemene relativiteitstheorie is een geweldig boek voor een meer formele, geometrische benadering om duidelijk te zien hoe de concepten zijn gedefinieerd abstract zonder de noodzaak van een coördinatensysteem. Dan is er Fecko – Differentiaalmeetkunde en Lie-groepen voor natuurkundigen, die ik beschouw als het beste leerboek over differentiaalmeetkunde.
Answer
De eerste definitie transformeert als een viervector: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
De tweede definitie transformeert niet helemaal als een viervector: $ \ dfrac {dx ^ {“\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt “} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Dit is logisch, aangezien je in de eerste definitie de differentiëlen van een viervector deelt (die zelf ook transformeren als een viervector). -vector) door een scalair (invariant onder de Lorentz-groep).