Gravitational slingshot maximum

Men kan een schatting krijgen van de grootteorde van de maximale snelheid die kan worden bereikt door middel van zwaartekrachtslingers zonder een echte berekening uit te voeren.

De “ruwe fysica” redenering gaat als volgt:

Het zwaartekrachtveld van de planeten die voor katapulten worden gebruikt, moet sterk genoeg zijn om het snel rijdende ruimteschip te “grijpen”. Aangezien een planeet geen ruimteschepen kan “grijpen” die sneller bewegen dan de ontsnappingssnelheid van de planeet, is het onmogelijk om een ruimteschip te slingeren tot snelheden die hoger zijn dan de planetaire ontsnappingssnelheden.

Dus hoe vaak onze zonne-energie ook is. systeemplaneten staan op een rij en hoe vaak je er ook in slaagt om een perfecte zwaartekrachtkatapult af te halen, je bent praktisch beperkt tot snelheden die ruwweg de maximale ontsnappingssnelheid in het zonnestelsel niet overschrijden (dwz 80 km / s of 0,027% van de lichtsnelheid , de ontsnappingssnelheid van Jupiter).

(Opmerking: door te werken met goed gedefinieerde trajecten kan men het bovenstaande argument verfijnen en alle numerieke factoren correct krijgen.)

Opmerkingen

• Ik zou het niet met je eens moeten zijn. Als je een hemellichaam vanuit de juiste hoek zou tegenkomen, zou je zijn omloopsnelheid nog een keer kunnen krijgen als je een excentriciteit van 1,4142 zou hebben, wat betekent dat het de ontsnappingssnelheid overschrijdt. Of bedoelt u dat de hyperbolische overtollige snelheid gelijk is aan de ontsnappingssnelheid (wat een excentriciteit van 3 zou betekenen), maar dit zou nog steeds een winst van ongeveer 40% van de orbitale snelheid mogelijk maken. Het neemt af, maar ik zou nog steeds significant denken.
• @fibonatic – Maak je ruzie over factoren $ 1,4 $ in een schatting van de orde van grootte?
• 1,4 is niet een orde van grootte lager ofwel.

Hoe sneller je gaat, hoe minder snelheid je theoretisch kunt behalen met een zwaartekrachtassistent.

De reden hiervoor is dat hoe sneller je gaat, hoe moeilijker het is om de baan te buigen. Om dit te bewijzen, moeten we de gepatchte kegelsneden benadering gebruiken, wat betekent dat binnen een bol Kepler banen kan worden gebruikt. De bol kan worden vereenvoudigd tot oneindig groot, aangezien het buigen van de eigenlijke herstelde kegelsnede hierdoor nauwelijks zal worden beïnvloed. Hoewel de excentriciteit laag is (gelijk aan of groter dan één, aangezien het een ontsnappingstraject zal moeten zijn), zal het traject in staat zijn om 360 ° te buigen waarbij de relatieve snelheid van het ruimtevaartuig met het hemellichaam effectief wordt omgekeerd, dus de verandering in snelheid zou tweemaal die relatieve snelheid zijn, wat ook de theoretische maximale winst is. Wanneer de excentriciteit toeneemt, wordt deze hoek kleiner. Deze hoek kan worden afgeleid uit de volgende vergelijking:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

waar $ r $ de afstand is van het ruimtevaartuig tot het massamiddelpunt van het hemellichaam, $ a $ de semi-hoofdas is, $ e $ de excentriciteit en $ \ theta $ de echte anomalie.De semi-hoofdas en excentriciteit moeten constant blijven tijdens het traject, dus de straal zou alleen een functie zijn van de werkelijke anomalie die per definitie gelijk is aan nul bij periapsis en daarom zal de maximale hoeveelheid buiging ongeveer tweemaal de werkelijke anomalie zijn bij $ r = \ infty $, wat betekent

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Wanneer de excentriciteit erg hoog wordt, wordt deze hoek 180 °, wat betekent dat het traject in feite een rechte lijn is.

Er zijn meerdere manieren om de excentriciteit te veranderen. In dit geval zijn de relevante variabelen:

• De hyperbolische overtollige snelheid , $ v_ \ infty $, die gelijk zal zijn met de relatieve snelheid waarmee het ruimtevaartuig het hemellichaam ontmoet, hiermee bedoel ik dat de bol van de hemellichamen erg klein is in vergelijking met de schaal van de banen van de hemellichamen rond de zon, dus de relatieve snelheid kan worden benaderd met het verschil in orbitale snelheid ten opzichte van de zon, benaderd met een Kepler-baan bij een ontmoeting tussen de twee wanneer een traject wordt gebruikt waarbij de interactie tussen hen wordt genegeerd.
• De hoogte van de periapsis , $ r_p $, die in wezen wordt beperkt door de straal van het hemellichaam (oppervlakte of buitenste atmosfeer).
• De gravitatieparameter van het hemellichaam, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

De zwaartekrachtparameter is slechts een gegeven voor as specifiek hemellichaam, aangezien een lagere excentriciteit wenselijk is, moet de periapsis worden ingesteld op zijn ondergrens, de straal van het hemellichaam. Op deze manier is de excentriciteit alleen een functie van hyperbolische overtollige snelheid en dus de relatieve snelheid van het ruimtevaartuig met het hemellichaam.

Met wat meer wiskunde kan worden aangetoond wat de verandering in snelheid zou zijn na zon nauwe zwaartekracht assist. Hiervoor gebruik ik een coördinatensysteem met een eenheidsvector parallel aan de richting van de relatieve ontmoetingssnelheid, $ \ vec {e} _ {\ parallel} $, en een loodrechte eenheidsvector, $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ parallel} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ parallel} \ rechts) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Bij het uitzetten van deze waarden voor Earth, dus $ \ mu = 3.986004 \ maal 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ en $ r_p = 6.381 \ maal 10 ^ { 6} m $ (ik gebruikte de equatoriale straal plus de hoogte waarop het atmosferische effect kan worden verwaarloosd, 300 km), je zou de volgende resultaten krijgen:

Als je wilt t een zo hoog mogelijke snelheid, dan wil je dat deze verandering in snelheid in de richting van jouw snelheid om de zon gaat. Als je genoeg tijd hebt en de baan is excentriek genoeg dat hij meerdere banen van hemellichamen doorkruist, dan zijn er veel mogelijkheden, maar zodra je een ontsnappingstraject van de zon hebt, passeer je in feite elk hemellichaam maximaal één meer tijd.

Als je gewoon een zo hoog mogelijke snelheid wilt krijgen, wil je misschien dichter bij de zon komen in een zeer excentrische baan, aangezien het “oppervlak” ontsnappingssnelheid is $ 617,7 \ frac {km} {s} $.

Reacties

• Hallo fibonatic, bedankt voor het antwoord . Ik heb de vraag bijgewerkt met aanvullende gegevens, aangezien ik begrijp dat je alleen de straal van de planeet, het gewicht en de beginsnelheid nodig hebt om de berekening uit te voeren. Als je meer gegevens nodig hebt, laat het me weten dan krijg ik het voor je.
• Dus maximale zwaartekrachtkatapult die we zouden kunnen krijgen is 0,002 lichtsnelheid google.co.uk/… die ons 2000 jaar om Alpha Centauri te bereiken google.co.uk/… Bedankt voor het geweldige antwoord.
• @MatasVaitkevicius Nee, aangezien je bij 0,002 c nabij het oppervlak van de zon een snelheid van nul oneindig ver van de zon zou hebben, of wanneer je de baan van Neptunus passeert, zou je vertraagd zijn tot 7,7 km / s.

Jullie denken hier allemaal te hard over na. Het katapulteffect heeft alles te maken met een referentiekader. Ten opzichte van het lichaam dat u nadert, moet de toename van de ingangssnelheid gelijk zijn aan de afname van de uitgangssnelheid, anders overtreedt u eenvoudige natuurkundige wetten (d.w.z. zwaartekracht). Vanuit het zonnestelsel perspectief zul je een netto snelheidswinst behalen als je een planeet vanuit de goede richting nadert, anders zal je netto snelheidsafname hebben na het verlaten.De theoretische maximale snelheidstoename bij het verlaten is daarom een functie van de snelheid van het gastheerlichaam (katapult) in het referentiekader en de naderingsvector.