Hamilton ' s Principe

De notities van week 1 van De cursus Lagrangiaanse mechanica van John Baez geeft enig inzicht in de motivaties voor actieprincipes.

Het idee is dat de minste actie kan worden beschouwd als een uitbreiding van het principe van virtueel werk. Wanneer een object in evenwicht is, kost het nul werk om er een willekeurige kleine verplaatsing op te maken, i. e. het puntproduct van elke kleine verplaatsingsvector en de kracht is nul (in dit geval omdat de kracht zelf nul is).

Wanneer een object versnelt, als we een “traagheidskracht” toevoegen die gelijk is aan $ \, – ma \, $ , dan zou een kleine, willekeurige, tijdsafhankelijke verplaatsing van het ware traject van het object weer een nul-puntproduct hebben met $ \, F-ma, \, $ de werkelijke kracht en traagheidskracht toegevoegd. Dit geeft

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

Van daar leiden een paar berekeningen in de noten tot de stationaire actie-integraal.

Baez bespreekt D “Alembert meer dan Hamilton, maar het is hoe dan ook een interessante kijk op de oorsprong van het idee.

Reacties

• Merk op dat het principe van virtueel werk D wordt genoemd ‘ Alembert-principe: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Zoals je in de onderstaande afbeelding kunt zien, wil je dat de variatie van de actie-integraal minimaal is, daarom moet $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ $ 0 $ zijn. Anders volgt u niet het echte pad tussen $ q_ {t_ {1}} $ en $ q_ {t_ {2}} $ maar een iets langer pad. Maar zelfs als u $ \ delta S = 0 $ volgt, kunt u, zoals u weet, een ander extremum krijgen.

Als u de link van jc volgt, vindt u On a General Method on Dynamics , die waarschijnlijk uw vraag over Hamiltons redenering beantwoordt. Ik heb het niet gelezen maar het is bijna zeker de moeite waard.

Reacties

• Dit lijkt een tautologisch antwoord, aangezien het precies Hamilton is ‘ s principe dat in de eerste plaats wordt gebruikt om tot het bovenstaande plaatje te komen.
• Misschien heb je Hamilton ‘ s principe geleerd en ben je daarbij gekomen foto als uitleg, maar de foto is volkomen algemeen. Het beschrijft de variatie van een functie met vaste eindpunten.

Ik vertel over het algemeen het verhaal dat het actieprincipe een andere manier is om tot dezelfde differentiaalvergelijkingen te komen – dus op het niveau van mechanica zijn de twee gelijkwaardig. Als het echter om de kwantumveldentheorie gaat, is de beschrijving in termen van padintegralen over de geëxponenteerde actie essentieel bij het beschouwen van instanton-effecten. Dus uiteindelijk komt men erachter dat de formulering in termen van acties fundamenteler en lichamelijk meer gezond is.

Maar toch hebben mensen geen gevoel voor actie zoals ze een gevoel voor energie hebben.

Laten we niet vergeten dat de bewegingsvergelijkingen met initiaal voorwaarden $ q (0), (dq / dt) (0) $ werden het eerst geavanceerd en het principe van de minste actie werd later geformuleerd, als een reeks. Hoewel mooi en elegant wiskundig, de het minste-actieprincipe gebruikt een toekomstige, “grens” -voorwaarde $ q (t_2) $, die fysiek onbekend is. Er is niet het minste-actieprincipe dat alleen werkt met de beginvoorwaarden.

Bovendien wordt geïmpliceerd dat de vergelijkingen hebben fysische oplossingen. Dit is zo in de klassieke mechanica, maar is verkeerd in de klassieke elektrodynamica. Dus, zelfs als ze afgeleid zijn van een formeel correct “principe”, kunnen de vergelijkingen verkeerd zijn op fysisch en wiskundig niveau. respect, het formuleren van de juiste fysische vergelijkingen is een meer fundamentele taak voor natuurkundigen dan te vertrouwen op een of ander “principe” om vergelijkingen “automatisch” te verkrijgen. Wij natuurkundigen zijn verantwoordelijk voor het correct formuleren van vergelijkingen.

In CED, QED en QFT moet men de verkeerde oplossingen “gaandeweg repareren” alleen omdat de fysica werd geraden en aanvankelijk verkeerd werd geïmplementeerd.

PS Ik zou willen laten zien hoe het systeem in werkelijkheid zijn traject “kiest”: als op $ t = 0 $ het deeltje een momentum $ p (t) $ heeft, dan heeft het de volgende keer $ t + dt $ het momentum $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Dit increment is vrij lokaal in de tijd, het wordt bepaald door de huidige krachtwaarde $ F (t) $, dus geen toekomstige “grens” -voorwaarde kan het bepalen. Het traject is niet “gekozen” uit virtuele; het wordt “getekend” door de onmiddellijke waarden van kracht, coördinaten en snelheid.

Opmerkingen

• Ik denk graag dat beide opties louter wiskundig zijn modellen en dus geen is meer echt. Noch het systeem kiest zijn traject, noch bepaalt de toekomst het minst actiepad. De niet-lokaliteit van QM leidt tot vergelijkbare twijfels.
• Verbazingwekkend genoeg is er nu een principe van de minste actie dat alleen werkt met de beginvoorwaarden! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Hier is een gratis arXiv-versie . Zonder het artikel in detail te lezen, ruikt het naar een klassiek Keldysh-formalisme , cf. dit en dit Phys.SE-berichten.

In plaats van de beginpositie en het momentum te specificeren zoals we hebben gedaan in het formalisme van Newton, laten we onze vraag herformuleren als volgt:

Als we ervoor kiezen om de begin- en eindposities te specificeren: $ \ textbf {Welk pad neemt het deeltje?} $

Let” s beweren dat we het formalisme van Newton kunnen herstellen door het volgende formalisme, het zogenaamde Lagrangiaans formalisme of Hamiltoniaans principe.

Aan elk pad dat op bovenstaande figuur wordt geïllustreerd, kennen we een nummer toe dat we de actie noemen

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

waar deze integrand is het verschil tussen de kinetische energie en de potentiële energie.

$ \ textbf {Hamiltons principe claims} $: Het ware pad dat het deeltje aflegt is een extremum van S.

$ \ textbf {Proof:} $

1. Wijzig het pad enigszins:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2.Houd de eindpunten van het pad vast :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3.Neem de variatie van de actie $ S $:

tot slot krijg je

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

De voorwaarde dat het pad waarmee we begonnen een extremum is van de actie is

$$ \ delta S = 0 $$

wat zou moeten gelden voor alle wijzigingen $ \ delta \ vec {r} (t) $ die we in het pad aanbrengen. De enige manier waarop dit kan gebeuren is als de uitdrukking in $ [\ cdots] $ nul is.Dit betekent

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Nu herkennen we dit als $ \ textbf {Newtons vergelijkingen} $. Vereisen dat de actie extreem is, is hetzelfde als eisen dat het pad voldoet aan de vergelijkingen van Newton.

Voor meer details zou je deze pdf-lezing kunnen lezen.

Ik hoop dat het helpt.

Reacties

• Als we een deeltje zien dat gedwongen is om op een bol te bewegen, komen we bij paden een is een maximum of een minimum. Ik voel dat een deeltje het pad van de minste actie volgt, maar de wiskundige vergelijking δS = 0 geeft ons een dubbelzinnig antwoord, maar een bepaald deel van dit antwoord bevat een pad met de minste actie. Je kunt Arfken en Weber zien.