Dus in $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ hebben we het Frobenius-inproduct gegeven door $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
wat kan worden geïnterpreteerd als het Euclidische inproduct op $ {\ bf R} ^ {np } $. Ik heb begrepen dat alle inproducten op $ {\ bf R} ^ {np} $ kunnen worden geschreven als $$ a ^ TPb $$ voor $ P $ positief-definitief. Het beste wat ik kon doen in een poging om het Frobenius-inproduct uit te breiden op $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ is zoiets als $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ voor $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ maal n} $ en $ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $ alle volledige rang. Ik zou echter graag willen weten of dit alle inproducten op $ {\ bf R} ^ {np} $ dekt, of dat het misschien complexer is dan nodig vanwege overtolligheden.
Ik kan de corresponderende $ P $ matrix voor elk specifiek matrixinproduct door de standaardbasis voor $ {\ bf R} ^ {n \ maal p} $ te nemen en de matrix te vormen
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
maar ik weet niet of de algemene vorm voor een matrixinproduct dat ik hierboven heb gegeven alle positief-bepaalde matrices omvat $ P $.
Update:
nieuwere versie van deze vraag op MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Reacties
- Welkom bij SciComp.SE! Dit is een interessante vraag, maar lijkt veel geschikter voor math.stackexchange.com . (Tenzij er ‘ een verband is met een computationeel wetenschappelijk probleem, ik ‘ m ontbreekt, in welk geval het ‘ zou geweldig zijn als je dat zou kunnen toevoegen.)
- @ChristianClason, het ‘ is gerelateerd aan optimalisatie op matrixvariëteiten met Riemann-statistieken, sinds Riemanniaans metrics zijn inproducten op de raakruimte. Het ‘ is vrijwel zeker te geavanceerd voor Math.SE, de enige andere geschikte plaats zou MathOverflow zijn. Ik heb misschien een oplossing gevonden die volgens mij een oplossing is die ik als antwoord kan posten zodra ik het rommelige werk heb gedaan om te bewijzen dat het een oplossing is, maar als je ‘ zou willen migreren dit voor MathOverflow Ik ‘ ben daar ok mee. Ik ‘ zal de optimalisatiecontext toevoegen als ik de kans krijg.
- De matrix $ P $ moet ook symmetrisch zijn, niet alleen positief definitief.
- @WolfgangBangerth, positief-bepaald impliceert symmetrisch.
- Niet voor alle auteurs impliceert positieve-bepaaldheid symmetrie.
Antwoord
Je kunt een inproduct zien als een bewerking $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, dwz het is een bilineaire functie die (i) een niet-negatief getal retourneert, (ii) voldoet aan de relatie $ f (a, b) = f (b, a) $.
Voor vectoren $ a, b \ in \ mathbb R ^ n $ kunnen alle bilineaire functies die aan deze eigenschappen voldoen, worden geschreven als $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ waarbij $ P $ symmetrisch en positief definitief is. Voor matrices $ a, b \ in \ mathbb R ^ {n \ maal p} $ kunnen al deze functies worden geschreven als $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ waar nu $ P $ een tensor is van rang 4 die symmetrisch is in de zin dat $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ en positief definitief in de zin dat $ f (a, a) > 0 $ voor alle $ a \ neq 0 $.
Uw vraag komt neer op of elke $ P $ die aan dergelijke voorwaarden voldoet, kan worden geschreven in een vorm die het resultaat is van de vectoren $ X_i, Y_i $. Ik denk dat het antwoord hierop nee is. Dit is simpelweg zo omdat de (voor de eenvoud aangenomen $ n = p $) symmetrische $ P $ (asymptotisch) $ n ^ 4/2 $ vrijheidsgraden heeft, terwijl de $ n $ vectoren $ X_i, Y_i $ slechts $ 2n hebben ^ 2 $ vrijheidsgraden. Met andere woorden, ik denk niet dat je benadering voor voldoende grote $ n $ voldoende vrijheidsgraden heeft.
Opmerkingen
- I geloof eigenlijk dat het antwoord ja is, ik ‘ ga deze vraag opnieuw posten over wiskundige overloop met mijn bijgewerkte resultaten.
- Ja, je argument dat het aantal parameters groeit Kwartaal in de vector inproductruimte terwijl alleen kwadratisch in de matrix inproductruimte dwingend is, maar aangezien de ruimte uiteindelijk eindig is, zouden we dit moeten kunnen verhelpen door $ N $ op de juiste manier te verhogen.
- Mijn excuses. Ik heb een nieuwere versie van deze vraag op MathOverflow gepost, maar deze ‘ is voldoende bijgewerkt. Ik dacht dat dat gepast was, hier is de link voor het geval je dat wilt om uw antwoord daarheen over te brengen of uw antwoord bij te werken op basis van de nieuwere versie. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Merk op dat @ ChristianClason adviseerde u om uw vraag op math.stackexchange.com te plaatsen, niet op mathoverflow.net. Dat zijn twee verschillende sites met verschillende doeleinden en doelgroepen.
- @FedericoPoloni ja dat weet ik, en als je leest wat ik schreef, zei ik hem dat ik dacht dat het te geavanceerd was voor Math.SE en dat het onwaarschijnlijk daar een antwoord.