Ik heb problemen met het Ho-Lee-model voor korte tarieven en maak onderscheid tussen het vinden van de waarden voor de gratis parameter λ versus het gebruik van de model om toekomstige tarieven te voorspellen.
Het Ho-Lee-model voor elke stap in een binominale structuur: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Ik heb dat gelezen om de vrije parameter bij elke stap in een recombinerende binominale boom in te stellen, stelt u de koers in op staat 0 op de huidige spotkoers (dwz: 1 maand spotkoers) en zoekt u een waarde voor lambda die, wanneer aangesloten op het model, zal resulteren in de huidige spotkoers voor de volgende tijdstap (bijv.: beginnend met 1 maand spotkoers bij status 0 en gebruikmakend van een 1 maand tijdsstap, zal de juiste waarde voor lambda bij aansluiting op het model de huidige 2 maanden spotkoers opleveren, enz.). / p>
Dit brengt me in de war. Zodra ik “de waarde van lambda heb bepaald voor elke stap in mijn stamboom, welke ingangen verander ik om het model met mijn bak te gebruiken omial tree om futures-tarieven te voorspellen .. dwz: een maandtarief in een maand, in twee maanden enz.?
Voor het geval mijn beschrijving niet duidelijk is, is hier een uitzondering uit het boek van Bruce Tuckman over de subject.
… zoek λ1 zodanig dat het model een tweemaands spotkoers produceert die gelijk is aan die in de markt. Zoek vervolgens λ2 zodanig dat het model een driemaands spotkoers produceert die gelijk is aan die op de markt. Ga op deze manier door tot de boom eindigt.
Antwoord
Weet je dat het Ho-Lee-model wordt gerepresenteerd door de stochastische differentiaalvergelijkingen \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} Om onze binominale boom te implementeren, gebruiken we de Euler-discretisatie. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} waar $ Z $ is een standaard normale willekeurige variabele. Laat $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ en breid vergelijking uit, in discrete tijd \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Deze relatie laat zien dat de short rate de som is van een set niet-stochastische drifttermen en een set willekeurige termen De prijs van een nulcouponobligatie zonder arbitrage $ P (t, t + \ Delta t) $ wordt dus vermeld als
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Bijvoorbeeld het berekenen van de obligatiekoers op het moment $ n = 2 $, geeft ons: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} met andere woorden \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} In dit geval $ r_t $ heeft een normale verdeling, dus \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Maar \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Het kan worden herschreven als: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} dan \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Deze relatie geeft de nodige recursieve relaties om het Ho-Lee no arbitrage-model van korte rentes te ontwikkelen. We nemen een reeks obligatiekoersen en een structuur van volatiliteit als input voor de korte rente. Daarom krijgen we de evolutionaire vergelijking om de binominale structuur van het model weer te geven.
Opmerkingen
- Bedankt voor je antwoord, hoewel het ' s boven mijn begripsniveau. Simpel gezegd, ik begrijp dat het doel van het model is om toekomstige tarieven te modelleren. Ik heb ' gelezen dat we de vrije parameters bij elke stap in de boomstructuur zo instellen dat het model de huidige spotkoersen uitspuugt. Als dat is hoe we weten dat het model is gekalibreerd, welke invoer zou ik dan wijzigen zodat ik het kan gebruiken om toekomstige tarieven te modelleren?