Hoe bepaal ik een vast eindmoment in de ligger?

Als je naar de constructie kijkt (zonder rekening te houden met de belasting), is deze symmetrisch: twee overspanningen van gelijke lengte, met pinnen aan de uiteinden en een rol in het midden. Het is ook een hyperstatische (of statisch onbepaalde) structuur, met meer onbekenden dan statische evenwichtsvergelijkingen.

Je zou daarom in de verleiding kunnen komen om dit model te vereenvoudigen tot een enkele vast-en-vastgezette ligger. Immers, een symmetrische belasting op beide overspanningen heft de rotatie bij B op, en een punt met buiging en geen rotatie staat gelijk aan een vaste ondersteuning. Dus waarom zou u het model niet vereenvoudigen tot een enkele overspanning? Natuurlijk, het is nog steeds hyperstatisch, maar het is een klassieke toestand met bekende reacties zoals gegeven door uw tabellen.

Het probleem is duidelijk dat in dit geval het laden isn” t symmetrisch. Dus wat doe je?

Je negeert dat kleine detail en even doen alsof u in feite te maken heeft met twee vaste en vastgezette overspanningen. Vervolgens berekent u voor elke overspanning de momentreactie op het “vaste” punt B. Vervolgens gebruikt u vergelijkingen met helling en afbuiging om erachter te komen wat de actueel rotatie rond B is en gebruik dat om je reacties opnieuw te berekenen.

Dus laten we s doe dit stap voor stap.

Veronderstel dat AB en BC vastgezette en vaste liggers zijn en bereken de momentreactie bij B in elk geval met behulp van uw tabellen:

$$ \ begin {alignat} {4} M_ {B, AB} & = \ dfrac {P} {L ^ 2} \ left (b ^ {2} a + \ dfrac {a ^ {2} b} {2} \ right) & & = 52.5 \ text {kNm} \\ M_ {B, BC} & = \ dfrac {3PL} {16} & & = -30 \ text {kNm} \ end {alignat} $$

Merk op dat $ M_ {B, BC } $ gebruikte het hoofdlettergebruik rechtsboven uit uw tabel sinds de belasting gecentreerd was, terwijl $ M_ {B, AB} $ de volgende hieronder gebruikte omdat de kracht niet in het midden ligt. Merk ook op dat de structuur in beide gevallen hetzelfde is: een vaste en vastgezette ligger.

Merk ook op dat de resultaten voor $ M_ {B, AB} $ en $ M_ {B, BC} $ zijn niet gelijk, wat je vertelt dat de aanname dat punt B hetzelfde was als een vaste ondersteuning zonder rotatie onjuist was.

Daarom gebruik je de helling-doorbuigingsvergelijkingen om de relatie tussen buigmoment en rotatie voor elke overspanning, gebruik ze om de werkelijke rotatie rond B te berekenen en gebruik die vervolgens om het werkelijke buigmoment rond B te berekenen:

$$ \ begin {alignat} {4} M_ {B, AB} & = \ dfrac {3EI} {8} \ theta_B + 52.5 \\ M_ {B, BC} & = \ dfrac {3EI} {8} \ theta_B – 30 \\ M_ {B, AB} & = M_ {B, BC} \\ \ dfrac {3EI} {8} \ theta_B + 52.5 & = \ dfrac {3EI} {8} \ theta_B – 30 \\ \ daarom \ theta_B & = \ dfrac {-30 } {EI} \\ \ dus M_B & = \ dfrac {3EI} {8} \ theta_B + 52,5 & & = -41.25 \ text {kNm} \\ & = \ dfrac {3EI} {8} \ theta_B – 30 & & = -41.25 \ text {kNm} \ end {alignat} $$

(ik heeft $ M_B $ tweemaal berekend om te laten zien dat je een van de vergelijkingen kunt gebruiken om de waarde ervan te vinden, uiteraard)

Daarmee heb je het werkelijke moment bij B en heb je het probleem opgelost.

Het vaste eindmoment is het moment op het gewricht als het zou worden vastgehouden om niet te worden geroteerd, of als het was gefixeerd. Daarom is het moment 3PL / 16, omdat B “vast” is en C is vastgemaakt.

Het probleem vermeldde dat ondersteuning A en C beide pinnen zijn, daarom zou je de aangepaste helling-afbuigingsvergelijking moeten gebruiken.

Reacties

• Dit is ' niet echt een antwoord op de vraag waarom om $ \ dfrac {3PL} {16} $ in dit geval te gebruiken, aangezien er geen vaste ondersteuningen zijn. Of wat is ' de relevantie van die berekeningen vóór de helling-afbuigingsvergelijkingen.