Ik zou graag willen leren hoe ik de verwachte waarde van een continue willekeurige variabele kan berekenen. Het lijkt erop dat de verwachte waarde $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$ is, waarbij $ f (x) $ de kansdichtheidsfunctie is van $ X $.
Stel dat de kansdichtheidsfunctie van $ X $ $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- is x ^ {2}} {2}} $$ wat de dichtheid is van de standaard normale distributie.
Dus ik zou eerst de pdf aansluiten en $$ E [X] = \ int_ { – \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ welke is een nogal rommelig ogende vergelijking. De constante $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ kan buiten de integraal worden verplaatst, waardoor $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
Ik loop hier vast. Hoe bereken ik integraal? Doe ik dit tot nu toe correct? Is de eenvoudigste manier om de verwachte waarde te krijgen?
Opmerkingen
- de titel van je vraag is misleidend. U probeert in feite de verwachte waarde van een standaard normale willekeurige variabele te berekenen. Je kunt ook de verwachte waarde van een functie van een RV berekenen. Ik zou liever de titel invoegen: ” Hoe de verwachte waarde van een standaard normale verdeling te berekenen. ” Of ” Hoe de verwachte waarde van een continue willekeurige variabele te berekenen. ”
- @Gu ð mundurEinarsson gecorrigeerd.
- ” Ik loop hier vast. Hoe bereken ik integraal? ” Zoek de afgeleide van $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $. (Nee, ik ben niet grappig en suggereer u onnodig druk werk; ik ben bloedserieus; doe het gewoon!). Staar dan heel hard naar de afgeleide die je hebt gevonden.
Antwoord
Je bent er bijna, volg je laatste stap:
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ mid _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
Of u kunt direct het feit gebruiken dat $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ een vreemde functie is en de limieten van de integraal zijn symmetrie.
Opmerkingen
- Het symmetrie-argument werkt alleen als beide helften zelf convergerend zijn.
- Kunt u uitleggen wat er op de tweede rij gebeurt?
- Glen ‘ s opmerking is correct als deze niet convergent is, dan zullen variabelenwijziging niet werken
- De tweede rij is gelijk aan de eerste rij aangezien $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ ook het minteken aan het begin noteert. Dan kun je denken aan verandering van variabele voor integratie, dan verander je deze terug aangezien de limieten niet veranderden. Of u kunt integreren op onderdelen gebruiken. En onthoud $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- Om symmetrie te gebruiken om het gemiddelde te krijgen, moet je weten dat $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ convergeert – in dit geval wel, maar in het algemeen kun je ‘ niet aannemen. Het symmetrie-argument zou bijvoorbeeld zeggen dat het gemiddelde van de standaard Cauchy 0 is, maar ‘ heeft er geen.
Antwoord
Aangezien u methoden wilt leren om verwachtingen te berekenen en u enkele eenvoudige manieren wilt kennen, zult u met plezier de moment-genererende functie (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
De methode werkt vooral goed als de verdelingsfunctie of de dichtheid ervan zelf als exponentieel wordt gegeven. In dit geval hoef je eigenlijk geen integratie uit te voeren nadat je hebt geobserveerd.
$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$
omdat, het schrijven van de standaard normale dichtheidsfunctie op $ x $ als $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (voor een constante $ C $ waarvan u de waarde niet hoeft te weten), hiermee kunt u de mgf ervan herschrijven als
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$
Aan de rechterkant, volgens de $ e ^ {t ^ 2/2} $ term, herkent u de integraal van de totale kans op een normale verdeling met gemiddelde $ t $ en eenheidsvariantie, die daarom $ 1 $ is. Bijgevolg
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$
Omdat de normale dichtheid zo snel klein wordt bij hoge waarden, zijn er geen convergentieproblemen, ongeacht de waarde van $ t $. $ \ phi $ is herkenbaar analytisch op $ 0 $, wat betekent dat het gelijk is aan de MacLaurin-reeks
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2 ) + \ frac {1} {2} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ k + \ cdots.$$
Aangezien $ e ^ {tX} $ absoluut convergeert voor alle waarden van $ tX $, kunnen we ook schrijven
$$ E [e ^ {tX}] = E \ left [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
Twee convergente machtsreeksen kunnen alleen gelijk zijn als ze term voor term gelijk zijn, waarvandaan (de termen met betrekking tot $ t ^ {2k} = t ^ n $ vergelijken)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$
implicerend
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$
(en alle verwachtingen van oneven machten van $ X $ zijn nul). Voor praktisch geen moeite heb je de verwachtingen van alle positieve integrale krachten van $ X $ in één keer verkregen.
Variaties van deze techniek kunnen in sommige gevallen net zo goed werken, zoals $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, op voorwaarde dat het bereik van $ X $ voldoende beperkt is. De mgf (en zijn nauw verwant aan de karakteristieke functie $ E [e ^ {itX}] $) zijn echter over het algemeen zo nuttig dat u ze vindt in tabellen met distributie-eigenschappen, zoals in het Wikipedia-item over de normale distributie .