Als levenslange wiskundestudenten vinden we het oplossen van problemen absoluut essentieel om ons begrip van het onderwerp te vergroten. Anderen leren wat we weten, dient om onze bestaande kennis te versterken en informatie onder de leerlingen te verspreiden.
Hoe kun je echter “goede” problemen creëren?
Met “goed” bedoel ik tot nadenken stemmende, inspirerende problemen met oplossingen die uitbreidbaar zijn naar andere domeinen. Dit bouwt ook op tot het niveau van de olympiadeproblemen, waarvoor probleemschrijvers een opmerkelijke mate van vindingrijkheid en creativiteit lijken te hebben bij het bedenken van nieuwe problemen.
Opmerkingen
- Ik maak me zorgen dat deze vraag te breed is. Ik bedoel niet ‘ te zeggen dat we ‘ niet kunnen beslissen wat ” goed is ” betekent, in termen van een wiskundig probleem. Maar die definitie hangt eerder te sterk af van (i) voor wie het probleem is ontworpen, en (ii) wat voor wiskundige inhoud / technieken ze zouden moeten gebruiken. Dat wil zeggen dat een ” goed ” probleem voor een leerfractie uit het 6de leerjaar heel anders is dan een ” goed ” probleem om een economiestudent te laten zien hoe calculus nuttig is in hun vakgebied.
- Ik ben het ermee eens dat het het beste is om dit beperkt tot een enkel onderwerp in wiskunde, bijv. hoe je goede topologieproblemen kunt creëren.
- Sommige van mijn docenten hadden een onverslaanbare vaardigheid om huiswerk / examens te schrijven waarin je veel hebt geleerd door de problemen op te lossen. Anderen gaven gewoon saaie problemen. De eerste waren over het algemeen veel uitdagender, zelfs als ze in geen enkel opzicht ” moeilijker ” waren. Als je de voorgestelde problemen in leerboeken bekijkt, ‘ zul je hetzelfde zien. Ik ‘ ben bang dat dit in grote mate een talent is dat moeilijk over te brengen is.
- Een van de grootste problemen die ik tegenkwam in eerdere opleidingen was dat er geen context gegeven voor het probleem dat we aan het oplossen waren. Door deze in context te plaatsen, kan dit heel wat helpen. Neem bijvoorbeeld het in rekening brengen van een polynoom. Als je het in de context van optimalisatie in calculus plaatst (oplossen voor de nullen van een afgeleide), wordt het gebruik ervan duidelijk. Het gebruik van de woordproblemen die in geavanceerdere materialen worden gepresenteerd, en hen vervolgens alleen vragen om het deel dat ze hebben geleerd op te lossen (in het bovenstaande voorbeeld, hen een vooraf berekende afgeleide laten factoreren) is een geldige strategie om problemen in een correcte context te presenteren.
Antwoord
Aangezien uw vraag erg breed is, is hier een enigszins breed antwoord: Lees meer over het stellen van problemen.
Drie belangrijke onderdelen zijn:
Silver, EA (1994). Over het stellen van wiskundige problemen. Voor het leren van wiskunde, 14 (1), 19-28.
en het boek
Brown, SI, & Walter, MI (2005). De kunst van het stellen van problemen . Psychology Press.
De laatste is een herdruk van een boek dat voor het eerst uitkwam in 1983. Je kunt ook een gerelateerd boek vinden dat is uitgegeven door Brown en Walter; een citaat voor de meest recente versie is:
Brown, SI, & Walter, MI (Eds. ). (2014). Probleemstelling: reflecties en toepassingen . Psychology Press.
Begin met deze drie documenten, hun referenties en (zoekend op Google Scholar) andere artikelen en artikelen waarin ze werden geciteerd.
Om de suggestie van Brown en Walter heel globaal te schetsen: begin met een wiskundig scenario, maak een lijst van aannames, varieer beperkingen (in hun termen: ” What-if- not-ing “), en vervolgens vragen stellen. U kunt zelfs ” ” door dit proces herhaaldelijk om problemen van toenemende complexiteit te produceren.
Natuurlijk brengt het stellen van problemen het gevaar met zich mee dat u het antwoord op wat u vraagt niet weet.
Bijvoorbeeld , zou uw startscenario de stelling van Pythagoras kunnen gebruiken:
Vind alle integeroplossingen voor $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .
Dit specifieke voorbeeld wordt onderzocht in het boek van Brown en Walter, maar het lijkt mij een redelijke veronderstelling om op te sommen: dat de exponent overal $ 2 $ is, en om oplossingen voor gehele getallen te vragen als de exponent $ 3 $ is .. .. of, als men zich bijzonder gedurfd voelt, generaliseer en vraag om exponent $ k \ geq 3 $ .
In één oogopslag lijkt dit misschien een redelijke vraag; maar als u bekend bent met de laatste stelling van Fermat, dan zult u zich realiseren dat dit voor de meeste studenten geen passend probleem is.
Enkele van mijn korte opmerkingen over probleemstelling en creativiteit kunt u gedeeltelijk terugvinden. $ 4b $ hier , en een paar andere voorbeelden met betrekking tot probleemstelling en intuïtie in de concreet voorbeeld sectie hier .
Een laatste opmerking: Je begint met het vermelden van de ” essentiële ” rol van probleem oplossen bij het verbeteren van ons begrip van wiskunde. Het is wellicht vermeldenswaard dat probleem poseren een belangrijke rol speelt bij oplossen; overweeg Polyas lijst met heuristieken en hoeveel daarvan zijn vragen: Wat is een gerelateerd probleem? Wat is een eenvoudiger probleem? Hoe kan ik dit probleem generaliseren? Enz. (Historisch gezien volgen zowel Silver, in het eerste hierboven geciteerde stuk, als Kilpatrick, over probleemformulering , deze observatie, dwz dat het stellen van problemen een integraal onderdeel is van het oplossen van problemen, althans terug naar een artikel uit 1945 van Karl Duncker.)
Zoals Cantor (1867) schreef in zijn proefschrift:
“In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi “
(” In de wiskunde is de kunst van het stellen van vragen waardevoller dan het oplossen van problemen “).
Opmerkingen
- Terwijl ik ‘ een fan ben van P ó lya ‘ s boek, ik vrees dat het de aanname heeft dat u alle benodigde gegevens krijgt, en alleen benodigde gegevens, te veel ingebouwd . ” Echte ” problemen hebben grotendeels te maken met het achterhalen van wat relevant is en wat niet ‘ t, en het verzamelen van missin g data.
- @vonbrand Naast het bekijken van enkele van Polya ‘ s volgende boeken (post- Hoe het op te lossen ) ik ‘ d suggereren, voor ” echte wereld ” problemen, het onderzoeken van de literatuur over wiskundige modellen. De kruising van wiskundemodellering en wiskundeonderwijs kan nog behoorlijk volledig worden uitgekamd; begin met Pollak ‘ s werk (relevant: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) en verplaats naar zijn citaten …
Antwoord
Voor mij zijn er misschien drie hoofdtypen problemen die ik toewijzen:
- Routinematige vaardigheidsopbouw : beide zijn gemodelleerd naar een berekening die ik heb laten zien soortgelijke problemen zijn opgelost, of zijn een bewijsprobleem dat slechts een natuurlijk gevolg is van een definitie en waarvoor weinig extra techniek nodig is. Voor een proefcursus zijn veel problemen weinig meer dan een uitnodiging om je te bekommeren om wat de notatie eigenlijk betekent.
- Brede ontdekking : in elke cursus zijn er bepaalde onderwerpen waarvoor we niet genoeg tijd hebben om les te geven. Het is een zeer lonende ervaring voor studenten om door een korte module met problemen te worden geleid, waarin ze de essentiële kenmerken van een onderwerp ontdekken dat niet diepgaand wordt behandeld door lezingen en ander materiaal.
- Uitdaging : hier zijn er geen rails, geen box, geen verwachting dat iemand in de cursus het oplost. Soms worden deze gebruikt om de beperkingen te laten zien van een huidige familie van technieken om problemen op te lossen, soms is er sprake van een vage intuïtie die een creatieve sprong maakt.
Ik vermoed dat de meeste problemen die ik schrijf en / of wijs fit toe in 1 of 2, maar studenten beschuldigen me vaak van 3. Eerlijk gezegd, een van de redenen waarom ik redelijk op de MSE probeer te surfen, is om te beoordelen wat er in mijn cursussen aan andere universiteiten wordt behandeld. Ook helpt het internationale karakter van de MSE me een dwarsdoorsnede te krijgen van wat er op scholen over de hele wereld gebeurt.
Reacties
- Je laat de all-time favoriete trick-vraag weg, waar je een Rube-Goldbergiaanse twist moet verzinnen om er een te hebben hoop het probleem op te lossen. Velen hier in de buurt worden ervan beschuldigd puzzels te maken, geen examens …
- @vonbrand nou, dat zou waarschijnlijk onder een uitdaging vallen. Vaak beginnen dergelijke problemen met een antwoord, doet zich wat duistere magie met series voor en dan wordt de student gevraagd een patroon te zien … ha ha ha … kwaadaardig.
Antwoord
Twee suggesties:
1) Woon workshops en conferenties bij en zoek probleemoplossende sessies of presentatoren die hun “favoriete problemen delen”.”Wanneer de problemen en oplossingen worden besproken, verschijnen er unieke methoden en benaderingen.
2) Bouw een bibliotheek en maak tijd vrij om te lezen. Verzamel boeken, pdfs en bronnen. Een leerboek dat niet geschikt is voor de leerlingen kan een geweldige bron van problemen. (Gebruik Amazon en eBay om gebruikte versies te krijgen die veel goedkoper zijn.) Pas de tekstboekversie naar behoefte aan. Creativiteit bij het creëren van problemen komt voort uit bladeren door bronnen.
Opmerkingen
- Bekijk wiskunde-olympiade-sites. Zoek dictaten, (opgeloste) examens, huiswerk, … het ‘ -net wemelt van dat soort van dingen.
Antwoord
Je hebt geen specifiek niveau gespecificeerd, maar ik denk dat je vraag de verdienste is in elk geval. Ik neem het op het K-8-niveau. Allereerst wil ik ingaan op uw specifieke vereiste:
Met “goed” bedoel ik tot nadenken stemmende, inspirerende problemen met oplossingen die uitbreidbaar zijn naar andere domeinen.
Ik zal “inspirerend” interpreteren als een motivatie voor leerlingen om zich bezig te houden met de wiskunde van het probleem. Voor tot nadenken stemmende neem ik aan dat u bedoelt dat de problemen hoogstwaarschijnlijk vereisen dat studenten productief wiskundig redeneren. Dit zijn essentiële kenmerken van goed onderzoek in een curriculum. Dat wil zeggen, een goed curriculum moet activiteiten en onderzoeken bevatten die hieraan voldoen.
Ik heb de bekende hoogwaardige curriculumontwikkelaar eens gevraagd hoe ze wist dat haar curriculumproblematiek pasten bij de vereisten van “ realistisch wiskundeonderwijs “(dat was de benadering die haar curriculum inspireerde. Ze antwoordde dat ze elke activiteit tijdens het onderzoeks- en ontwikkelingsproces vele malen met echte studenten moesten proberen. de eerste concepten waren misschien gebaseerd op theorie, in werkelijkheid werd het voltooide curriculum zwaar getest.
Zoek en verzamel daarom problemen die zijn ontwikkeld door goede curriculumontwerpers. Bouw indien nodig uw eigen bibliotheek met dergelijke problemen.
Een laatste opmerking: je stelde voor dat je problemen wilde waarvan de oplossingen uitbreidbaar waren naar andere domeinen. Ik raad je aan voorzichtig te zijn met dit soort veronderstellingen bij het zoeken naar problemen. Wat ze gaan begrijpen tijdens het proces van het stellen van problemen oplossen kan hen helpen om conn te vormen ecties tussen contexten. Het kan echter zijn dat u het moeilijk vindt om het idee van “domeinoverdraagbare oplossingen” in goede wiskundeonderwijs literatuur te ondersteunen. Concentreer u meer op wat voor soort wiskundig redeneren de leerlingen de kans en de middelen zullen hebben om mee te doen.