Een hexagonale gesloten pakking (hcp) eenheidscel heeft een ABAB type pakking. Voor het berekenen van de verpakkingsfractie hebben we het volume van de eenheidscel nodig.
Volume van hcp-rooster = (basisoppervlak) $ \ cdot $ (hoogte van eenheidscel)
Elke zeshoek heeft een zijde = $ 2 \ cdot r $
Basisgebied = $ 6 $ (Oppervlakte van kleine gelijkzijdige driehoeken die de zeshoek vormen)
$$ = 6 \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {4} \ maal (2r) ^ 2 $$ $$ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $$
Vandaar dat volume $ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $ (hoogte van unit cell)
Dit is het punt waarop ik vastzit. Hoe kom ik erachter hoe hoog de eenheidscel is?
Ik zocht in studieboeken en ontdekte dat de hoogte $ = 4r \ cdot \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Kunt u alstublieft uitleggen waarom dit zo is?
Antwoord
We zullen het proberen met gebruikmaking van de overeenkomsten tussen hcp en ccp. Hier weten we dat $ hcp $ en $ ccp $ een soortgelijk rooster hebben, behalve het feit dat $ hcp $ het ABAB-type is, terwijl $ ccp $ het ABCABC-type is. Daarom weten we ook dat hun verpakkingsfractie $ (\ phi) $ hetzelfde is en $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Zoals u al zei Volume van hcp-rooster $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Er zijn in totaal 6 atomen in hcp. Vandaar $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Om dit te vereenvoudigen, verkrijgen we de hoogte van hcp-rooster $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$
Reacties
- We zien dat hun verpakkingsfractie gelijk is na evaluatie van het volume vanaf de hoogte, enz. Je antwoord werkt achteruit.
Answer
Om de hoogte van een eenheidscel te berekenen, beschouw een tetraëdrische leegte in een zeshoekige gesloten verpakking. Het kan worden voorgesteld als 3 massieve bollen die elkaar raken en in het midden heb je een andere bol eroverheen gestapeld. Een interactieve versie kan worden bekeken op deze site . De situatie ziet er als volgt uit:
Als je de middelpunten van deze vier bollen samenvoegt, krijg je een tetraëder. Dat is eigenlijk een piramide met een driehoekige basis. Ik neem aan dat elke rand van onze tetraëder gelijk is aan $ a $.
Nu heb je een piramide ($ ABCD $), met een gelijkzijdige basis ($ \ Delta BCD $), zou ik willen dat je een loodlijn laat vallen van het hoogste punt ($ A $) naar de middelste ($ G $) driehoekige basis. Als je me correct volgt, heb je een figuur als volgt:
Alles wat we moeten doen do now is om de lengte $ AG $ te berekenen. Gebruik hiervoor gewoon de stelling van Pythagoras in $ \ Delta AGD $.
$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$
Hoewel we weten dat $ AD = a $, blijft de zijkant $ GD $ over onbekend. Maar dat is gemakkelijk te berekenen. Het punt $ G $ is het zwaartepunt van $ \ Delta BCD $. De lengte $ GD $ is dus gelijk aan $ a / \ sqrt {3} $. Door de waarden in onze eerste vergelijking in te pluggen, krijgen we $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Maar let op, dit is de helft de hoogte van onze eenheidscel. De vereiste hoogte is dus $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.
Antwoord
In de hexagonale structuur die het dichtst bij elkaar zit, $ a = b = 2r $ en $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , waarbij $ r $ is de atoomstraal van het atoom. De zijkanten van de eenheidscel staan loodrecht op de basis, dus $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .
Voor een -verpakte structuur, de atomen op de hoeken van de basis van de eenheidscel zijn in contact, dus $ a = b = 2 r $ . De hoogte ( $ c $ ) van de eenheidscel, die moeilijker te berekenen is, is $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .
Laat de rand van de hexagonale basis gelijk zijn aan $ a $
En de hoogte van de hexagon is gelijk $ h $
En straal van bol is gelijk aan $ r $
De middelste bol van de eerste laag ligt precies boven de leegte van de 2e laag B.
De middelste bol en de bollen van 2e laag B zijn in contact
Dus in $ \ Delta PQR $ ( een gelijkzijdige driehoek):
$ \ overline {PR} = 2r $ , Draw $ QS $ raaklijn op punten
$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$
$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$
$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$
$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$
$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$
$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$
Vandaar dat bij de berekening van de verpakkingsefficiëntie van hcp arr hoek, wordt de hoogte van de eenheidscel genomen als $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .
FROM
Opmerkingen
- Wat betekent de driehoek van punten?
- Hoe komt het dat de hoek QRS 30 graden is?