Stel dat we Hamiltoniaan hebben op $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dagger} + A)) $$ We kennen ook $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $ en $ A ^ 2 = 0 $, waardoor $ W = A ^ {\ dagger} A $
Hoe kunnen we $ H $ uitdrukken als $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Tot nu toe heb ik aangetoond dat als we de eigenwaarden van $ W $ beschouwen, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Het impliceert dat $ A | \ psi \ rangle $ en $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ ook eigenvectoren zijn van $ W $ met eigenwaarde $ 1-w $. Als we $ A ^ 2 = 0 $ gebruiken, zien we dat $ w = 0 $ of $ 1 $
Ik weet niet helemaal zeker hoe je operatoren als matrices uitdrukt, aangezien de meeste mijn cursus heeft de golffunctie-notatie gebruikt. Ik “zou het erg waarderen als iemand de volgende stappen hier zou kunnen uitleggen, zodat ik er een beter begrip van kan krijgen.
Opmerkingen
- Kunt u het oplossen voor A, van de 2 vergelijkingen die je hebt geschreven? neem algemene complexe getallen a, b, c, d aan als de matrixwaarden van A. Ik vermoed dat dit zou kunnen werken.
Answer
Zoals @MichaelBrown in het antwoord heeft aangegeven, moet je om het matrixelement te krijgen de operator tussen twee toestanden plaatsen. Dus in het geval van je Hamiltoniaanse $ H $, worden de matrixelementen gegeven als $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Ik moet erop wijzen dat de $ i $ “s die u gebruikt, moeten de basisset zijn waarin u zich bevindt. Als u de staat $ \ psi $ heeft, dan als $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ alleen dan kun je op deze manier de matrixelementen van je operator uitdrukken. Als je de operator tussen de staat zelf plaatst, krijg je de verwachting van de staat. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Opmerkingen
- Bedankt dat je de tijd hebt genomen om te antwoorden, maar, zoals ik tegen MichaelBrown zei, hoe kan ik dit toepassen op deze situatie? Waar ik alleen weet zijn twee eigenvectoren en hun bijbehorende eigenwaarden.
Antwoord
Het matrixelement $ O_ {ij} $ van een operator wordt gedefinieerd door $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ en het is traditioneel dat de $ i $ index de rij labelt en $ j $ de kolom labelt. Op deze manier werkt matrixvermenigvuldiging zoals jij zou verwachten: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ die je kunt laten zien door een complete set staten in te voegen.
Opmerkingen
- Bedankt voor je antwoord, maar hoe kan ik dit toepassen op deze situatie? Waar ik alleen weet zijn twee eigenvectoren en hun bijbehorende eigenwaarden.