Hoe kan ik de complexe grafiek van $ x ^ x $ in Mathematica plotten?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Hier is een weergave die laat zien hoe de grafiek begint spiraal voor negatieve $ x $ waarden, als we rekening houden met de complexe waarden.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

Als we $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $ schrijven, is deze n generaliseert normaal naar $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; elke $ 2i \ pi k $ vertegenwoordigt een andere tak van de complexe logaritme. In deze context zien we dat deze grafiek slechts één spiraal vormt van een familie van spiralen.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

In elementaire klassen zou je de bewering kunnen zien dat $ (p / q) ^ {p / q} $ is gedefinieerd voor $ p $ negatief en $ q $ oneven en positief. Dus inclusief deze punten, zou de grafiek er ongeveer zo uit kunnen zien:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Vanuit het complexe perspectief ontstaan de stippen als plekken waar een van de spiraaldraden het $ x $ – $ z $ -vlak doorboort.

Opmerkingen

• Ik heb yulinlinyu ' s als antwoord gekozen omdat het mijn vraag direct en bondig beantwoordde – maar Mark Mcclure ' s antwoord gaat verder en is het echte juweel in deze thread!

Zoals yulinyu heeft opgemerkt out, geeft zoiets als het volgende u de gewenste plot.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Mogelijk bent u ook geïnteresseerd in dit uitstekende antwoord door Simon Woods om een grafiek te maken van de plot over het complexe domein. Het gebruik van zijn functie en het evalueren van het volgende geeft je een mooi plaatje

domainPlot[#^# &] 

Reacties

• Even dacht ik dat ik rookte … maar nee
• Train je je hypno-krachten?

U kunt de nieuwe in M12-functies ReImPlot en ComplexPlot voor complexe visualisaties van een functie . Met ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

en ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Ook

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

doet het werk in versie 12.0.