Hoe lang duurt het voordat een kopje water is verdampt?
Om deze vraag te beantwoorden, ga ik uit van enkele basisparameters, en dat het water wordt opgeblazen door een ventilator, om tot een schatting te komen:
- Watervolume: $ V = 200 \ \ mathrm {mL} $
- Bovenste wateroppervlak: $ A_ \ mathrm s = 0.05 \ \ mathrm {m ^ 2} $
- Kamertemperatuur: $ T _ {\ infty} = 25 \ \ mathrm { ^ \ circ C} $
- Watertemperatuur: $ T_ \ mathrm w = 25 \ \ mathrm {^ \ circ C} $
- Relatieve vochtigheid van water in kamerlucht: $ 50 \ \% $
- Warmteoverdracht-convectiecoëfficiënt van een ventilator / wind: $ h = 100 \ \ \ mathrm {W / (m ^ 2 \ K)} $
Laten we neem aan dat het water in thermisch evenwicht is met de omringende kamer (een groot warmtereservoir) zodat er geen opwaartse convectie is.
Ik begin met de verdampingsmassaflux gegeven door
$$ n = h_m (\ rho_s – \ rho _ {\ infty}) $$
en $ h_m $ is de massaoverdrachtscoëfficiënt, die is gevonden uit de warmte- en massaoverdrachtsanalogie:
$$ h_m = \ frac {h} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $ $
waarbij $ Le = \ frac {\ alpha} {D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}}} $ is het Lewis-getal. Het verdampingsmassadebiet is dus
$$ \ dot {m} = n A_ \ mathrm s = A_ \ mathrm s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty})} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $$
We kunnen het dichtheidsverschil schatten door de relatieve vochtigheid van lucht te gebruiken bij ~ $ 50 \ \% $ voor een normale kamer:
$$ \ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty} = \ rho_ \ mathrm {sat} (T) – 0,5 \ rho_ \ mathrm {sat} (T) = 0,5 \ frac {Mp_ \ mathrm {sat} (T)} {RT} = 0,5 \ frac {18 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}} \ maal 3171 \ \ mathrm {Pa}} {8.315 \ \ mathrm {m ^ 3 \ Pa \ K ^ {- 1} \ mol ^ {- 1 }} \ times 298 \ \ mathrm K} = 0.012 \ \ mathrm {kg / m ^ 3} $$
Het Lewis-getal wordt berekend op basis van thermische diffusie van lucht $ \ alpha = 2.2 \ times 10 ^ {- 5} $ en de binaire diffusiecoëfficiënt $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air }} $ voor diffusie van waterdamp door lucht wordt gegeven door een experimentele correlatie (met $ p $ in $ \ mathrm {atm} $ ):
$ $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}} = 1.87 \ maal 10 ^ {- 10} \ frac {T ^ {2.072}} {p} = 1.87 \ maal 10 ^ {- 10} \ frac { 298 ^ {2.072}} {1} = 2.5 \ times 10 ^ {- 5} $$
Het Lewis-getal is daarom $ Le = \ frac {2.2} {2.5} = 0,88 $ . Het massadebiet vanaf het oppervlak is
$$ \ dot {m} = A_s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty })} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} = 0,05 \ frac {100 \ maal 0,012} {1,2 \ maal 1000 \ maal 0,88 ^ {2/3}} = 5,4 \ maal 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {kg / s} $$
Nu neem ik aan dat deze massaflux constant blijft in de tijd aangezien het water zich in thermisch quasi-evenwicht met de kamer (een groot temperatuurreservoir), en blijft daarom op constante temperatuur, waardoor de eigenschappen van water niet veranderen.
Massabehoud opbrengsten op het water
$$ \ frac {\ mathrm dm} {\ mathrm dt} = – \ dot {m} $$
Integrerend, vinden we dat de tijdsnelheid van massaverandering lineair is:
$$ m (t) = m_0 – \ dot {m} t $$
Om volledig te verdampen, $ m (t) = 0 $ en
$$ t = \ frac {m_0} {\ punt {m}} = \ frac {\ rho V} {\ dot {m}} = \ frac {1.2 \ times 0.2} {5.5 \ times 10 ^ {- 5}} = 4360 \ \ mathrm s = 1.2 \ \ mathrm h $$
Het water heeft 1,2 uur nodig om volledig te verdampen.
1 uur voor verdamping lijkt best snel, maar ik heb vanaf het begin wel een grote convectiecoëfficiënt gebruikt. Enkele gedachten / vragen:
- Wat als er geen geforceerde convectie van een ventilator is? We hebben geen drijvende natuurlijke convectie of straling aangezien het water in thermisch evenwicht is met de kamer. Wat is in dit geval de aard van verdamping en hoe kunnen we het massaverlies berekenen?
- Ik ging ervan uit dat de massaverlies door verdamping is constant gedurende de tijd, aangezien het water in thermisch evenwicht is met de kamer (een groot reservoir) en de temperatuur niet verandert. Is dit een goede aanname?
Opmerkingen
- Ik heb ' t je rekenkunde gecontroleerd, maar je benadering is correct. Wat betreft de vraag, als er absoluut geen convectie is, zoals in het ergste geval zou u een rechtstreeks diffusieprobleem hebben.Dat zou betekenen dat je concentratie opbouwt in de lucht rond het oppervlak van de beker, en de omvang van dit gebied zou met de tijd toenemen, met 100% vochtigheid aan het oppervlak en 50% vochtigheid ver van het oppervlak.
- @ChetMiller Dus dat zou als een semi-oneindig massadiffusieprobleem zijn, met vergelijkbare regelende vergelijkingen en oplossingen voor het semi-oneindige probleem van warmteoverdracht? De massaflux zou dan tijdsafhankelijk zijn, correct?
- In de praktijk denk ik dat het vrij moeilijk is om de verdampingssnelheid nauwkeurig te berekenen. Er is over het algemeen een dunne, stilstaande luchtlaag net boven het wateroppervlak met een veel hogere relatieve vochtigheid dan de RV van de kamer, en die dunne laag is een belangrijke beperkende factor voor de verdampingssnelheid. Denk niet dat ' het ' s een gemakkelijke zaak is om nauwkeurig de RH of dikte van de laag te berekenen, of hoe die twee parameters kunnen veranderen als functie van de hoeveelheid lucht die over het oppervlak stroomt. De verdampingssnelheid kan ook gevoelig zijn voor minuscule olie of andere filmpjes op het oppervlak.
- Zeker. Het zou waarschijnlijk numeriek moeten worden opgelost, tenzij je bereid zou zijn om het wateroppervlak te benaderen als een klein cirkelvormig gebied ingebed in een oneindig vlak onder de semi-oneindige halve ruimte. Ik ' ben er zeker van dat Carslaw en Jaeger de oplossing hebben voor dit analoge warmteoverdrachtsprobleem.
- @SamuelWeir Drew ' s oplossing houdt rekening met de concentratiegrenslaag boven het oppervlak. Zijn massaoverdrachtscoëfficiënt is gelijk aan de diffusiecoëfficiënt gedeeld door de dikte van de grenslaag.