Mijn vraag is hoe type II-fout $ \ beta $ te berekenen?
-
Stel dat ik wil testen $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (ik moet type II-fout $ \ beta $ berekenen, dus ik moet een $ \ mu $, zeg 1, repareren in $ H_1 $).
-
Stel dat de distributie voor $ H_0 $ $ F_0 $ is, $ H_1 $ $ F_1 $ is, waarbij $ E [\ xi] = 0 $ if $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ als $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Nu maak ik een schatter voor $ \ mu $, zeg $ \ bar {X} _n $, en een teststatistiek $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (laten we aannemen $ \ sigma $ is bekend).
-
Nu maak ik een afwijzingsregel ($ H_0 $): $ S_n > b $.
-
Type II-fout wordt berekend als $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Mijn vragen zijn (ik wil drie dingen verifiëren):
-
De bovenstaande constructielogica is correct, toch?
-
De distributie in “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” is $ F_1 $, toch?
-
[geeft het meeste om] De $ S_n $ in “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” zou $ F_0 $ moeten gebruiken om te berekenen, toch?
-
Ik bedoel, ongeacht de type I- of type II-fout die ik bereken, moet ik altijd $ F_0 $ gebruiken om de teststatistieken te berekenen, toch?
-
Ik bedoel, $ S_n $ is altijd $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ in type I of type II foutberekening ation, maar niet $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ bij het berekenen van $ \ beta $, toch?
-
Of, dit zou geen probleem moeten zijn, omdat teststatistieken slechts een functie van een steekproef zijn en geen parameters zouden moeten omvatten?
-
Opmerkingen
- Type II-fout is niet om de nulhypothese te verwerpen wanneer deze onwaar is, dwz $ H_1 $ is waar. Ik denk dat je $ F_1 $ moet gebruiken om P te berekenen, maar niet $ F_0 $ zoals je $ P_ {F_1} (S_n > b) $ hebt geschreven. U kunt ook verwijzen naar vermogensberekening die is gebaseerd op $ H_1 $ parameter, en Type II $ \ beta $ = 1-power
- Bedankt! Je hebt gelijk. Ik heb een fout gemaakt. Het is $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ voor de type II-fout.
Antwoord
Geef $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ aan als de verdeling onder de nulhypothese en $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ onder $ H_1 $, dus je hebt een teststatistiek $ X $ en je wilt testen
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ versus $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Zoals je het beschrijft, wil je een eenzijdige test uitvoeren, en je definieert het kritieke gebied in de rechterstaart. Dus nadat je een betrouwbaarheidsniveau $ \ alpha $ hebt gekozen, gebruik je de verdeling $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ om de kwantielwaarde $ q_ te vinden {\ alpha} ^ {(0)} $ zodanig dat $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (ik ga uit van continue distributies). De superindex $ (0) $ geeft aan dat de kansen worden gemeten onder $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, , dus je hebt de nulverdeling $ \ mathcal {nodig F} ^ {(0)} $ om het kritieke gebied te definiëren, dwz het kwantiel $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
In een steekproef kun je een uitkomst $ x $ zien voor de willekeurige variabele $ X $ en de null wordt afgewezen wanneer $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Met andere woorden, uw test zal beslissen dat $ H_1 \ textrm {beslist als waar} \ iff x \ in [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
De kracht van uw test is de waarschijnlijkheid dat $ H_1 $ als waar wordt beslist wanneer $ H_1 $ waar is , dus de macht is de kans dat $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ wanneer $ H_1 $ waar is, dit is de kans dat $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ wanneer de werkelijke verdeling $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ of de macht $ \ mathcal {P} $ is
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Waar de superindex $ (1) $ aangeeft dat de waarschijnlijkheden worden berekend onder $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Dus het vermogen wordt gemeten met $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $, maar je hebt de waarde $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ nodig die wordt berekend met $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Ik heb de kracht $ \ mathcal {P} $ gebruikt en de type II-fout $ \ beta $ is $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
In jouw geval
Je hebt gelijk als je zegt dat “” De distributie in “$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ “is $ F_1 $” “
Om $ b $ te vinden, moet u echter $ F_0 $ gebruiken. In feite is $ b $ de analoog van $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $