Hoe werkt het drijfvermogen?

Basisidee

Stel je in gedachten een diepe oceaan van water voor. Stel je een kolom van het water voor, gaande van het oppervlak naar een diepte $ d $. Die waterkolom heeft een gewicht van $ W $. Daarom is er een neerwaartse kracht van magnitude $ W $ op die waterkolom. U weet echter dat de waterkolom niet versnelt, dus er moet een opwaartse kracht van magnitude $ W $ op die kolom drukken. Het enige dat onder de kolom zit, is meer water. Daarom moet het water op diepte $ d $ met kracht $ W $ omhoog duwen. Dit is de essentie van drijfvermogen. Laten we nu eens kijken naar de details.

Details

Het gewicht $ W $ van een waterkolom met een dwarsdoorsnede van $ A $ en de hoogte $ d $ is

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

waarbij $ \ rho _ {\ text {water}} $ de dichtheid van water is. Dit betekent dat de waterdruk op diepte $ d $ is

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

Stel nu dat je een object met doorsnede $ A $ en hoogte $ h $ in het water plaatst. Er zijn drie krachten op dat object:

1. $ W $: het object “s eigen gewicht.
2. $ F _ {\ text {above}} $: de kracht van het water boven het object.
3. $ F _ {\ text {below}} $: de kracht van het water onder het object.

Stel dat de onderkant van het object zich op diepte $ d $ bevindt. De bovenkant van het object bevindt zich dan op diepte $ d-h $. Gebruikmakend van onze eerdere resultaten, hebben we

$$ F _ {\ text {below}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {above}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Als het object in evenwicht is, is het versnelt niet, dus alle krachten moeten in evenwicht zijn:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {above}} & = & F _ {\ text {below}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {water}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {water}} \ end { eqnarray} $

waar we in de laatste regel het volume van het object hebben gedefinieerd als $ V \ equiv h A $. Dit zegt dat de voorwaarde voor evenwicht is dat het gewicht van het object gelijk moet zijn aan zijn volume maal de dichtheid van water. Met andere woorden, het object moet een hoeveelheid water verplaatsen die hetzelfde gewicht heeft als het object. Dit is de gebruikelijke wet van drijfvermogen.

Uit deze beschrijving denk ik dat je kunt uitbreiden naar het geval van lucht in plaats van water, en horizontale in plaats van verticale drukgradiënt.

Ik denk dat druk op het oppervlak van het lichtere ding er iets mee te maken heeft, maar dat is ongeveer het.

Dit is eigenlijk het begin en het einde van het HELE verhaal. Dit is in theorie alles dat u moet weten over drijfvermogen. Laten we eens kijken hoe deze uitspraak uitpakt en hoe het leidt tot de andere kennis die je hebt verzameld over drijfvermogen.

Je stelt je gewoon een vrij lichaamsdiagram voor voor het drijvende / ondergedompelde lichaam. De enige krachten daarop staan de druk, overal normaal voor het lichaamsoppervlak, en het lichaamsgewicht.

De netto kracht op het lichaam van de omringende vloeistof is dan:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

waar we de drukkrachten $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ samenvatten die inwerken op de elementen van gebied $ \ mathrm {d} S $ in de richting van de eenheid normaal $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ als functie van positie $ \ mathbf {r} $ over het interfaceoppervlak $ S $ tussen de vloeistof en het lichaam. Dat is alles. Het is natuurlijk moeilijk te zien aan (1) alleen wat er zal gebeuren met een lichaam dat doordrenkt is van vloeistof, dus laten we verder gaan met meer praktische antwoorden.

We doen een klein trucje: het blijkt dat je bij problemen met het drijfvermogen altijd kunt aannemen dat het oppervlak $ S $ in (1) een gesloten grens van een volume is (dat is zelfs wanneer je te maken hebt met problemen zoals boten die idealiter niet volledig ondergedompeld en de gesloten grens zou op het eerste gezicht niet toepasbaar lijken). We vormen eerst het inproduct van $ \ mathbf {F} $ met een willekeurige eenheidsvector $ \ mathbf {\ hat {u}} $ en vervolgens, gegeven het gesloten oppervlak, kunnen we de divergentiestelling tot (1) voor het volume $ V $ binnen het gesloten oppervlak $ S = \ gedeeltelijke \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ gedeeltelijke V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ vetgedrukt symbool {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

wat, gegeven de eenheidsvector $ \ mathbf {\ hat {u}} $ willekeurig is, betekent:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

en we stellen ons het drukveld $ p voor (\ mathbf {r}) $ die zou aanwezig zijn in de vloeistof binnen het oppervlak als de vloeistof niet zou worden verplaatst door het lichaam dat het volume $ V $ opneemt. Vanaf (2) kunnen we zie meteen het tweede stuk kn U kent het volgende:

ballonnen krijgen hun “gevoel van beneden” door een differentieel . [bold mine]

dat wil zeggen, er is geen netto opwaartse kracht op het lichaam, tenzij de druk $ p $ varieert van plaats naar plaats. Anders is $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ identiek niets.

Als je niet helemaal vertrouwd bent met de divergentiestelling, bedenk en analyseer dan een ondergedompelde kubus. In een vloeistof waar de druk niet varieert met de positie, wordt de kracht op elk vlak precies in evenwicht gehouden door de tegengestelde kracht op het tegenoverliggende vlak. Een ander geval dat intuïtie geeft, is een bol in een vloeistof met overal een constante druk: de kracht op elk punt wordt precies in evenwicht gehouden door de tegengestelde kracht op het antipodale punt. Het argument van de divergentiestelling laat je eenvoudig de algemeenheid afleiden van dergelijke conclusies die je kunt trekken voor symmetrische objecten.

Laten we nu verder gaan naar een drukveld dat je als duiker gewoon zult zijn; door de $ \ mathbf {\ hat {z}} $ richting naar beneden te nemen, is het drukveld in een stilstaande vloeistof die op het oppervlak van een planeet ligt met een straal die veel groter is dan de diepten die we in overweging moeten nemen:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

waarbij $ \ rho $ is de vloeistofdichtheid, $ g $ de zwaartekrachtversnelling en $ p_0 $ de druk bij $ z = 0 $. Als we dit op (2) aansluiten, krijgen we:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

waarbij $ V_f $ het volume van de verplaatste vloeistof is. Dit is natuurlijk het principe van Archimedes; het geldt voor vloeistofgebieden die klein genoeg zijn dat de drukvariatie een lineaire functie van de positie is. Hoewel het lijkt te zeggen dat de “verplaatste vloeistof zich terugduwt” zoveel vage verklaringen voor de toestand van het drijfvermogen, maar dit is onzin. De verplaatste vloeistof is er niet eens: het principe is slechts het resultaat van het toepassen van wiskundige trucs om het fundamentele principe te vertalen, dat is belichaamd in de jouw tekst die ik citeerde in de eerste regel van dit antwoord en in (1) en de verplaatste vloeiende terugdringing slechts een geheugensteuntje om aan het principe te herinneren.

Twee andere opmerkingen zijn op volgorde:

1. Merk allereerst op dat het antwoord in (4) onafhankelijk is van $ p_0 $. Daarom, als de body niet helemaal ondergedompeld (zoals een werkende bootromp), dan kunnen we eenvoudig de kruising van het volume met de vloeistof nemen om het volume $ V $ te zijn; de kruising van het vloeistofoppervlak met het volume begrenst dan het verminderde volume en de krachtbijdrage op de bovenkant is dan nul (aangezien we $ p_0 = 0 $ willekeurig kunnen instellen zonder onze resultaten te veranderen).
2. Ten tweede, nogmaals, als je je ongemakkelijk voelt bij de divergentiestelling, voer dan de analyse uit voor een kubus met zijn randen verticaal en horizontaal als een verduidelijkend voorbeeld. Hoewel de drukkracht varieert over de verticale oppervlakken, zijn de drukoppervlakken op elk verticaal vlak nog steeds precies tegengesteld aan die op het tegenoverliggende oppervlak. De netto kracht is het verschil tussen de kracht op de onder- en bovenzijde van de kubus, die bij (3) de kracht is die wordt berekend door het principe van Archimedes.

Als duiker weet je dat de druk toeneemt als je dieper gaat.

Stel je een cilinder voor die verticaal onder water wordt gehouden. De kracht op de bovenkant van de cilinder is de druk maal de oppervlakte (per definitie van druk). Aan de onderkant van de cilinder is het oppervlak hetzelfde maar de kracht is groter (dieper, meer druk). Het verschil tussen de twee is de drijfkracht.

Als je een voorwerp van “elke” vorm hebt, kun je het zien als gemaakt van oneindig veel dunne cilinders (rietjes met de uiteinden gesloten, als je wilt ). U kunt de berekening nu voor elk van deze herhalen. Dat laat zien dat dit ook geldt als het object een grappige vorm heeft.

Het is zo dat het verschil gelijk is aan het gewicht van het verplaatste water – maar het bovenstaande is volgens mij minder abstract.

Onthoud altijd uw veiligheidsstop!

Opmerkingen

• Bedankt @floris! Ja, dit is nu logisch. Het probleem dat ik had was met lucht, waar ik geloofde dat er zon kleine verandering in druk over een object is, dat het ‘ niet voldoende drijfvermogen kon veroorzaken. Maar als ik denk in plaats van dat de massa aan de bovenkant duwt en de massa die aan de onderkant duwt (zoals je zegt), lijkt het volkomen redelijk. En, natuurlijk, die duwmassa is wat ” druk ” is, dus de uitleg van de drukgradiënt moet ook correct zijn. Bedankt 🙂

Nou, ik heb het altijd gezien als een zwaartekracht op een niet -evenwichtstoestand.

Probeer je 2 verschillende ballen voor te stellen die boven op elkaar uit de lucht vallen (in de atmosfeer van de aarde). Als de lichtere bal zich op de zwaardere bal bevindt, zal de lichtere bal uit elkaar vallen van de zwaardere bal. Als de zwaardere bal zich boven op de lichtere bal bevindt, hebben we 2 opties:

1. Evenwichtstoestand – wat betekent dat de zwaardere bal zich direct op de lichtere bal bevindt – Er zullen geen krachten zijn die de bal zijwaarts versnellen – gewoon naar beneden. De ballen zullen als één bal vallen.
2. De zwaardere bal is iets zijwaarts naar de lichtere bal (ze raken nog steeds). In dit geval zal de zwaardere bal zijwaarts van de lichtere bal rollen en onder de lichtere bal gaan (sneller accelereren).

Probeer je dit nu eens voor te stellen met miljoenen ballen die door de lucht vallen. Het is best logisch voor de zwaardere om onder de ligh te gaan ter ones, nietwaar?

(Dit is niet echt een natuurkundig antwoord, het is meer een eenvoudig voorbeeld van het zeer fundamentele concept)

Opmerkingen

• Beide ballen worden met dezelfde snelheid versneld. Waarom zouden ze uit elkaar gaan?
• Sleepkrachten zullen de lichtere bal vertragen

Druk in de eenvoudigste zin is slechts een kracht die over een gebied inwerkt. Stel je alle deeltjes in de lucht in de auto voor. De druk van de lucht is eigenlijk een maat voor de gemiddelde kracht waarmee deze deeltjes tegen elkaar drukken. Wanneer we een heliumballon binnenbrengen om in de auto te zweven, duwen de luchtdeeltjes tegen de heliumdeeltjes, en de heliumdeeltjes duwen terug op de luchtdeeltjes.

Hier in een beetje statische engineering komen; de krachten van de heliumatomen duwen alle verschillende richtingen uit, maar aangezien ze allemaal door de ballon worden ingesloten en allemaal met dezelfde kracht duwen, kunnen we aannemen dat deze krachten elkaar allemaal opheffen, en de enige krachten die de ballon beïnvloeden als een geheel is extern. Op dit punt zonder dat er krachten op inwerken, kon de ballon vrij in elke richting worden geduwd zonder in wezen kracht te hebben. De lucht duwt het echter nergens heen, omdat de lucht ook vanuit alle richtingen op de ballon drukt en zichzelf dus ook weer opheft.

Nu wordt de kracht berekend als Massa * versnelling (ook wel bekend als Massa * versnelling).een bowling naar het hoofd zal je harder raken dan een knikker die met dezelfde snelheid beweegt omdat hij meer massa heeft en dus meer kracht). Versnelling op moleculair niveau is recht evenredig met de temperatuur. Omdat de temperatuur van alle gassen in de auto hetzelfde is, kunnen we dit ongedaan maken, en het enige dat van invloed is op hoeveel kracht de deeltjes duwen, is de massa van de deeltjes.

Terug naar onze auto : De zwaartekracht trekt alle deeltjes in de auto naar beneden met dezelfde constante acceleratie, 9,8 m / s ^ 2. De luchtdeeltjes worden naar beneden getrokken met een kracht die gelijk is aan hun massa * 9,8 m / s ^ 2. De heliumdeeltjes worden ook met dezelfde versnelling getrokken, maar omdat hun massa zoveel minder is dan die van de zuurstof, stikstof en andere deeltjes in de lucht, is hun neerwaartse kracht veel minder en worden ze weer omhoog geduwd door de meer krachtige luchtdeeltjes. Daarom zweeft de ballon.

Vervolgens begint de auto te rijden. Volgens de wet van traagheid (een object in rust heeft de neiging om in rust te blijven totdat er een externe kracht op reageert), zelfs als de auto vooruit begint te rijden, blijven de gasdeeltjes op hun plaats. Stel je voor dat een bal boven je dashboard zweeft die op deze absolute locatie blijft, hoe je ook beweegt. Trek een voet naar voren, en nu staat het boven de middenconsole. Nog een paar meter en het zit op je achterbank. Dit is precies wat er gebeurt met alle gasdeeltjes in de auto. Nu zijn alle deeltjes naar de achterkant van het voertuig verplaatst en zijn er veel minder vooraan. Omdat er nu meer luchtdeeltjes achter de ballon zijn om ertegen te duwen dan erachter, heffen de krachten elkaar niet meer op en wordt de ballon naar voren geduwd.

Hopelijk helpt dit om het duidelijker te verklaren . Sorry, dit was nogal omslachtig, laat het me weten als er iets beter uitgelegd moet worden!

Opmerkingen

• Er zit wat wankele fysica in … bijvoorbeeld een bowlingbal raakt harder dan een knikker die met dezelfde snelheid beweegt, omdat deze meer momentum draagt, waardoor het stoppen ervan een grotere verandering in momentum veroorzaakt, wat betekent dat er meer kracht werd uitgeoefend als het stoppen van beide plaatsvindt in hetzelfde tijdsinterval. Ongeveer de helft van het antwoord is prima, en in grote lijnen ‘ s min of meer correct, maar het mist een aantal (belangrijke) details.
• Klopt, het is ‘ s is al een tijdje en probeerde zoveel mogelijk te vereenvoudigen. Voel je vrij om naar behoefte te bewerken.