Ik wil simuleren vanuit een normale dichtheid (zeg mean = 1, sd = 1) maar wil alleen positieve waarden.
Eén manier is om vanuit een normaal te simuleren en de absolute waarde te nemen. Ik beschouw dit als een gevouwen normaal.
Ik zie in R dat er functies zijn voor het genereren van afgekapte willekeurige variabelen. Als ik simuleer vanuit een afgekapte normaal (afkapping op 0) is dit equivalent aan de gevouwen benadering?
Antwoord
Ja, de benaderingen geven dezelfde resultaten voor een nul-gemiddelde Normale verdeling.
Het is voldoende om te controleren of de waarschijnlijkheden spreek intervallen af, want die genereren de sigma-algebra van alle (Lebesgue) meetbare verzamelingen. Laat $ \ Phi $ de standaard normale dichtheid zijn: $ \ Phi ((a, b]) $ geeft de kans dat een standaard normale variaat in het interval $ (a, b] $ ligt. Voor $ 0 \ le a \ le b $, de afgekapte kans is
$$ \ Phi _ {\ text {truncated}} ((a, b]) = \ Phi ((a, b]) / \ Phi ([0, \ infty]) = 2 \ Phi ((a, b]) $$
(omdat $ \ Phi ([0, \ infty]) = 1/2 $) en de kans op fold is
$$ \ Phi _ {\ text {gevouwen}} ((a, b]) = \ Phi ((a, b]) + \ Phi ([- b, -a)) = 2 \ Phi ( (a, b]) $$
vanwege de symmetrie van $ \ Phi $ ongeveer $ 0 $.
Deze analyse geldt voor elke distributie die symmetrisch ongeveer $ 0 $ en heeft een kans van nul om $ 0 $ te zijn. Als het gemiddelde niet nul is , is de verdeling echter niet symmetrisch en de twee benaderingen niet geven hetzelfde resultaat, zoals dezelfde berekeningen laten zien.
Deze grafiek toont de kansdichtheidsfuncties voor een normale (1,1) verdeling (geel), een gevouwen Normale (1,1) distributie (rood) en een afgeknotte normale (1,1) distributie (blauw). Merk op hoe de gevouwen distributie de karakteristieke klokcurve-vorm niet deelt met de andere twee. De blauwe curve (afgeknotte distributie) is het positieve deel van de gele curve, opgeschaald tot eenheidsoppervlak, terwijl de rode curve (gevouwen distributie) de som is van het positieve deel van de gele curve en zijn negatieve staart (zoals gereflecteerd rond de y-as).
Reacties
- Ik vind de afbeelding leuk.
Antwoord
Laat $ X \ sim N (\ mu = 1, SD = 1) $. De distributie van $ X | X > 0 $ is zeker niet dezelfde als die van $ | X | $.
Een snelle test in R:
x <- rnorm(10000, 1, 1) par(mfrow=c(2,1)) hist(abs(x), breaks=100) hist(x[x > 0], breaks=100) Dit geeft het volgende. 