De stelling van Feynman-Kac stelt dat voor een Ito-proces in de vorm $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ er is een meetbare functie $ g $ zodat $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ met een geschikte randvoorwaarde $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. We weten ook dat $ g (t, x) $ de vorm $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Dit betekent dat ik een optie met uitbetalingsfunctie $ h (x) $ kan prijzen voor $ T $ door de differentiaalvergelijking op te lossen zonder rekening te houden met het stochastische proces.
Is er een intuïtieve verklaring hoe het mogelijk is om het stochastische gedrag van het Ito-proces te modelleren door middel van een differentiaalvergelijking, ook al heeft de differentiaalvergelijking geen stochastische component?
Opmerkingen
- Binnen de verwachting, zou ‘ t $ h (X_T) $ in plaats van $ h (X_t) $ ?
Antwoord
Martingalen + Markovian
Hier is de motivatie. Voorwaardelijke verwachtingen zijn martingalen door de toren-eigenschap van voorwaardelijke verwachtingen (een gemakkelijke oefening om te laten zien). Stel dat $ r = 0 $, volgens de risiconeutrale prijsstelling $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ de prijs is van eender welk derivaat beveiliging met $ X $ als de onderliggende waarde en uitbetalingsfunctie $ h $, voor het moment dat de onderliggende waarde en het derivaat zelf geen tussenliggende cashflows betalen. In een Markoviaanse setting moet het zo zijn dat de prijs van het derivaat een meetbare functie is van de huidige activaprijs en alleen de looptijd, zeg maar een functie $ g (t, x) $. Vervolgens, volgens Itos lemma $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Omdat $ g $ een (verschoven) martingaal is, moet de driftterm gelijk zijn aan nul . randvoorwaarde komt voort uit geen arbitrage, bekijk dit door op te merken wat $ g (T, x) $ is uit de aanvankelijk gegeven definitie (onthoud meetbaarheid bij het nemen van voorwaardelijke verwachting).
Opmerkingen
- Bedankt. Wat is $ \ mathscr {F} _t $?
- Het is een sigma-algebra van een filtratie. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – het complimenteert mijn antwoord redelijk goed +1
- @Raphael – denk maar aan $ \ mathscr F_t $ als de informatie beschikbaar tot tijd $ t $. De verticale balk luidt ” gegeven ” zodat wanneer je die verwachting schrijft, alles voor die tijd neem je ‘ helemaal geen verwachting aan en kan het buiten dezelfde manier komen als een constante. Zoals $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Er is een relatief goede uitleg van voorwaardelijke verwachting in dit boek.
Antwoord
De stelling van Feynman-Kac is vooral zinvol in een prijscontext. Als je weet dat een functie de Feynman-Kac-vergelijking oplost, kun je de oplossing ervan weergeven als een verwachting met betrekking tot het proces. ( verleen dit document )
Aan de andere kant lost een prijsfunctie de FK-PDE op. Daarom zou men vaak proberen de PDE op te lossen om een prijsformule in een gesloten formulier te krijgen. ( verleen dit document dat begint met pagina 22 )
Je zou de Feynman-Kac niet gebruiken om een stochastisch proces te simuleren. Aan de andere kant kun je een stochastisch proces gebruiken om een oplossing te vinden voor de FK-PDE ( zie hier )
Bewerken 26.02.2014: Ik heb een document gevonden dat het verband tussen de overgangsdichtheid en de FK-PD ( zie hier vanaf pagina 5 )
Ook is er een verband tussen de FK-formule en de Sturm-Liouville-vergelijkingen die kunnen worden gebruikt voor de ontleding van Brownse paden. ( zie dit artikel )
Reacties
- Bedankt voor de links! In uw bericht worden verschillende toepassingen en toepassingen voor de stelling van Feynman-Kac uitgelegd. Mijn voornaamste interesse op dit punt is te begrijpen waarom de stelling waar is, dwz de intuïtie achter de stelling.
- Ik zou hier het bewijs willen voorstellen: en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Het lezen van bewijzen helpt vaak om te begrijpen hoe een stelling tot stand komt. Of ben je geïnteresseerd in een uitleg vanuit Phyiscs-oogpunt?
Antwoord
De manier waarop ik denk het is dat de PDE de stroom beschrijft van een tijdsafhankelijke kansverdeling. Het stochastische proces beschrijft individuele realisaties (willekeurige wandelingen met een afwijking), maar als je er een groot aantal liep, zou je een verdeling opbouwen.
De PDE zegt hoe die verdeling verandert in de tijd (eerste term) als gevolg van deterministische drift (de tweede term) en diffusie (de derde term, die de link is tussen “veel willekeurige wandelaars” en de verspreiding kansverdeling die beschrijft hoe ver ze gemiddeld “zijn gekomen). Gewoonlijk begint de kansverdeling als een deltafunctie vanwege de bekende beginvoorwaarde.
Opmerkingen
- Ik ben een beetje in de war. We hebben de PDE van de prijsfunctie $ g (t, x) $ afgezien van drift en vluchtigheid, er is niet veel informatie die je uit de FK-PDE kunt halen met betrekking tot de distributie
Antwoord
Laten we dit antwoord in twee stappen benaderen.
Ten eerste, Ik vind het vrij intuïtief dat er voor een gegeven stochastische PDE een deterministische PDE bestaat die de dichtheid naar een later tijdstip laat evolueren. Deze vergelijking is de voorwaartse Kolmogorov- of Fokker-Plank-vergelijking. Waarom is het intuïtief? Men kent ook de toekomstige verdeling van een Brownse beweging (per definitie), waarom zou dit veranderen voor een meer complexe stochastische term?
Ten tweede, als je eenmaal de voorwaartse vergelijking hebt, is het een kwestie van wiskunde om ook een in de tijd omgekeerde versie ervan afleiden. Dit is de Feynman-Kac-vergelijking, en het propageert een distributie achteruit in de tijd.