Reacties
- De tijd is oneindig – dwz het vallende object ' s snelheid is nooit exact zo snel als de eindsnelheid. Als je wilt weten hoe lang het duurt om 99% van de eindsnelheid te zeggen, is dat een betere vraag!
- @alephzero: Nou, in een realistischer scenario waar de dichtheid hoger is in de buurt van de grond, zal een object dat van hoog genoeg boven valt uiteindelijk zijn " terminal " snelheid bereiken (tijdelijk, relatieve tot de huidige dichtheid). En dan zal zijn snelheid afnemen naarmate de lucht dichter wordt, en het object zal de grond daadwerkelijk bereiken met een super-terminale snelheid.
- Als een object een variërende weerstand heeft (het is bijvoorbeeld een skydiver of niet een bol en tuimelt), zal de eindsnelheid verschillen afhankelijk van de oriëntatie. In dit scenario kan het soms zijn eindsnelheid overschrijden.
- @Ben: Zelfs voor een bol zal de weerstand niet constant zijn, omdat Cd doorgaans varieert met het Reynolds-getal, dat voortdurend zal afnemen tot het eindpunt snelheid is bereikt.
Answer
Een vallend object bereikt geen eindsnelheid; het benadert de eindsnelheid asymptotisch volgens de formule $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Hier is $ m $ de massa van het object, $ g $ is de versnelling als gevolg van de zwaartekracht, $ \ rho $ is de dichtheid van de vloeistof waardoor het object is vallende, $ A $ is het geprojecteerde gebied van het object en $ C_d $ is de weerstandscoëfficiënt .
Dus $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ is de eindsnelheid en $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ is de tijdschaal op waarbij de eindsnelheid wordt benaderd volgens $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}}. $$ At $ t = \ tau $ het object bevindt zich op 76% van de eindsnelheid. Op $ t = 2 \ tau $ bevindt het object zich op 96% van de eindsnelheid. Op $ t = 3 \ tau $ is dit 99,5% van de eindsnelheid.
Opmerkingen
- Merk op dat $ \ tanh x \ ongeveer 1 – 2 e ^ {- 2x} $ voor grote $ x $, dus het verschil tussen $ v $ en eindsnelheid ongeveer exponentieel afneemt met de tijd. Dit kan een handige vuistregel zijn; als $ v $ ooit 1% lager is dan $ v_t $ en 0,5% lager dan $ v_t $ 10 seconden later, dan zal $ v $ 0,25% lager zijn dan $ v_t $ 10 seconden daarna.