Ik weet dat door Heisenbergs onzekerheidsprincipe dat het niet mogelijk is om de exacte waarden van positie en momentum van een deeltje tegelijkertijd te kennen, maar kunnen we dat wel weten de exacte waarden van momentum en snelheid van een deeltje tegelijkertijd? Ik zou denken dat het antwoord nee zou zijn, want zelfs als we 100% zeker zouden zijn van de positie van het deeltje, zouden we volkomen onzeker zijn over het momentum van het deeltje, waardoor we ook totaal onzeker over de snelheid van het deeltje. Heeft iemand hier enig inzicht in?
Antwoord
Het is vrij gebruikelijk om de twee uitersten van het onzekerheidsprincipe, sinusoïde, te bespreken en deltafunctie. De ene heeft een perfect gedefinieerde golflengte maar geen positie, de andere heeft een perfect gedefinieerde positie maar geen golflengte.
Geen van deze vormen is echter erg fysiek voor de positiegolffunctie van een deeltje. Een echte sinusoïdale golffunctie zou zich door de hele ruimte uitstrekken, wat om verschillende redenen absurd is (inclusief de aanwezigheid van andere materie). Een echte deltafunctie zou evengoed een momentum hebben, wat waarschijnlijk in strijd zou zijn met het behoud van energie. Deze twee extreme limieten zijn dus wiskundig interessant, maar niet fysiek relevant.
Gegeven de vraag “Zet het onzekerheidsprincipe enig verband met het feit dat momentum en snelheid tegelijkertijd goed gedefinieerd zijn?”, is het antwoord nee.
Gegeven de vraag “Verbiedt het onzekerheidsprincipe mij om een enkele variabele met oneindige precisie te meten?”, het antwoord is nee.
Gegeven de vraag “Doet iets verbied me om mee te meten oneindige precisie? “, het antwoord is ja .
Dus uw vraag noemt” exacte waarden “, wat een zeer interessante, netelige onderwerpen. (Is het ooit mogelijk om een exacte waarde te meten? Hoe zien we het verschil?) Bent u echt nieuwsgierig naar “exacte waarden”? Benieuwd waar het onzekerheidsprincipe van Heisenberg wel en niet van toepassing is? Of ben je benieuwd of er naast het onzekerheidsprincipe nog andere grenzen zijn aan ons meetvermogen?
Opmerkingen
- Ik vroeg het alleen omdat het werd gevraagd tijdens een test en ik was benieuwd naar het antwoord nadat ik de test had gemaakt. Ik weet dat het onzekerheidsprincipe te maken heeft met energie en tijd, en dan ook met positie en momentum. Dus ik dacht dat als we hypothetisch de positie met exacte zekerheid zouden meten, we volledig onzeker zouden zijn over zijn positie, dus volledig onzeker over zijn snelheid. Ik wilde alleen weten of onzekerheid over positie onzekerheid over snelheid garandeert.
- Als we relativistische effecten negeren, zijn snelheid en momentum recht evenredig met elkaar met het deeltje ‘ s rustmassa als de evenredigheidsconstante, dus als je de ene precies kent, krijg je de andere gratis.
Antwoord
Als in uw theorie de momentumoperator en de snelheidsoperator evenredig met elkaar zijn, dan ja. De eigenwaarde van de een kennen, betekent de ander kennen. Dit is altijd het geval bij elke functie van een “bekende” operator.
Opmerkingen
- I ‘ heb basisfysica 3 bij Georgia Tech en volg het als een keuzevak, dus ik ben ‘ niet zo ver gekomen. Ik ‘ zal er echter zeker naar kijken.
Antwoord
De eigenwaarden van de snelheid van de Dirac-vergelijking zijn $ \ pm c $. Dit is bekend sinds de vergelijking werd gevonden; zie het boek van Dirac, “The Principles of Quantum Mechanics, 4th Ed.,”, Oxford University Press, Oxford 1958, Hoofdstuk XI “Relativistic Theory of the Electron”, sectie 69, “The motion of a free electron”, pagina 262 Vroeger was het een algemeen onderwezen feit in de kwantummechanica, maar ik begrijp de neerwaartse stemmen, het is nu mogelijk om een doctoraat in de natuurkunde te behalen zonder ook maar iets te weten van de volgende nogal elementaire berekening. Gedeeltelijk omdat dit niet “veel meer wordt onderwezen, is de afleiding onlangs weer in de literatuur verschenen, zie bijvoorbeeld: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiraal oscillaties in termen van het zitterbewegung-effect / hep-th / 0701091 , rond vergelijking (11).
We beginnen met op te merken dat snelheid de tijdssnelheid van positieverandering is, en dat u de tijdsnelheid van positieverandering kunt bepalen met behulp van de commutator:
$$ \ hat {v} _x = \ punt {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Als het bovenstaande magisch voor je lijkt, lees dan het Wikipedia-artikel op Stelling van Ehrenfest die het principe beschrijft en de identieke situatie geeft voor niet-relativistische kwantummechanica: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ en dus $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (voor het niet-relativistische geval) . Voor het niet-relativistische elektronenmodel is het dus mogelijk om gelijktijdig snelheid en momentum te meten; hun evenredigheidsconstante is de massa. Maar met relativiteit gebeurt de proportionaliteit niet dus de situatie is anders.
Wil een toestand een eigentoestand van snelheid zijn, dan is het volgende vereist:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definieerde de Hamiltoniaan met vrije deeltjes als $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. In moderne notatie, $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ en $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, terwijl $ p $ de gebruikelijke impulsoperator is.
Merk op dat de het enige dat niet pendelt met $ \ hat {x} $ is de x-component van de momentumoperator, die $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $ geeft. hierboven reduceert tot:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Gebruikmakend van de door Wikipedia gekozen gammamatrixweergave, hebben we: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ De eigenwaarden zijn verkregen door het karakteristieke polynoom op te lossen. Dat wil zeggen, bereken de matrixdeterminant en stel deze in op nul: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Ik laat het als een oefening voor de lezer om te laten zien dat er twee echte wortels zijn, $ \ pm c $ elk met de tweede orde.
De vier oplossingen voor het snelheidseigenwaardeprobleem voor de Dirac-vergelijking komen overeen met het rechts- en linkshandige elektron en positron. Dat wil zeggen, de eigentoestanden van de snelheid van de Dirac-vergelijking zijn precies de linker- en rechtshandige toestanden die worden gebruikt om fermionen in het standaardmodel weer te geven.
Reacties
- Er zijn twee afzonderlijke problemen die downvotes kunnen veroorzaken (ik heb ‘ nog niet downvotes, los dit op). Ten eerste bevindt de Dirac Hamiltoniaan zich in een in diskrediet gebracht beeld met één deeltje van de Dirac-vergelijking, waarbij x een operator is die de positie van het elektron beschrijft. In het juiste beeld van de veldtheorie hebben staten in de buurt van Fock een momentum dat p is en een snelheid die p / E is in een wavepacket, en de twee grootheden kunnen gelijktijdige waarden hebben (soort van, omdat deeltjes niet-lokaal zijn). Het andere probleem is dat de vergelijking die je geeft voor de eigenwaarden van de snelheid vier oplossingen heeft, (c, -c, ic, -ic).
- Wat betreft het probleem met veld theorie versus QM gaat, de snelheid eigentoestanden van het elektron zijn gerelateerd aan zitterbewegung (zbw) die onlangs een heropleving heeft gehad als gevolg van vastestoffysisch onderzoek.Dus ik ‘ m niet zeker of het ‘ s in diskrediet is gebracht, zie bijvoorbeeld de bespreking van zbw en velocity eigentoestanden in Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Oké, ik ‘ m vaststelling van de eigenwaardeberekening; Ik heb de determinant verpest.
- Ik denk niet dat ‘ niet dat ‘ volledig in diskrediet is gebracht, het heeft alleen een discussie nodig — de zbw is een eigenschap van positron-toestanden die zich vermengen met elektronentoestanden in het beeld van een enkel deeltje, het is het elektron dat heen en weer ziggt in de tijd in de Feynman-beschrijving. Het ‘ is fysiek, maar alleen in de Feynman-vorm van deeltjesdynamica, niet zozeer in de veldtheorievorm. Ik ben er zeker van dat dit de reden is dat veel mensen automatisch een particle-discussie over Dirac eqn. Ik vind ‘ niet dat het onzin is, het bevat veel natuurkunde, maar het vereist een zorgvuldige discussie.
Antwoord
Het argument dat het onzekerheidsprincipe van Heisenberg verbiedt dat we de exacte waarden van momentum en snelheid van een deeltje tegelijkertijd kunnen kennen, is al in diskrediet gebracht in het oude leerboek van Feynman over Quantum Elektrodynamica.
Twee waarneembare gegevens kunnen tegelijkertijd worden bepaald als de operators pendelen. Voor snelheid en momentum pendelen de operators $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; ze doen zelfs in de Dirac golffunctie theorie met zijn Zitterbewegung effecten.