Layman ' s uitleg en begrip van Einstein ' s veldvergelijkingen

Einsteins vergelijkingen kunnen losjes worden samengevat als de belangrijkste relatie tussen materie en de geometrie van ruimtetijd . Ik zal proberen een kwalitatieve beschrijving te geven van wat elke term in de vergelijking betekent. Ik zal potentiële lezers echter moeten waarschuwen dat dit niet een kort antwoord zal zijn. probeer de vergelijkingen niet af te leiden op ” elementaire ” manier, aangezien ik er zeker geen weet.

Materie

Aan de rechterkant van de equa is, het belangrijkste is de verschijning van de energy-momentum tensor $ T _ {\ mu \ nu} $ . Het codeert precies hoe de materie — begrepen in brede zin, d.w.z. elke energie (of massa of momentum of druk) dragende medium — wordt verdeeld in het universum. Zie mijn uitleg van de metrische tensor hieronder om te begrijpen hoe u de subscriptindices van de $ T $ interpreteert.

Het wordt vermenigvuldigd met een aantal fundamentele constanten van de natuur $ \ Big ($ de factor $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ maar dit is niet van doorslaggevend belang: men kan ze beschouwen als boekhoudhulpmiddelen die de eenheden van de hoeveelheden bijhouden die door de vergelijking worden gerelateerd. In feite nemen professionele natuurkundigen doorgaans de vrijheid om onze meeteenheden opnieuw te definiëren om het uiterlijk van onze uitdrukkingen te vereenvoudigen door vervelende constanten zoals deze te verwijderen. Een bijzondere optie zou zijn om ” gereduceerde Planck-eenheden “, waarin $ 8 \ pi G = 1 $ en $ c = 1 $ , zodat de factor $ 1 $ wordt.

Differentiaal g eometry

Aan de linkerkant van Einsteins vergelijkingen vinden we een paar verschillende termen, die samen de geometrie van ruimtetijd beschrijven. De algemene relativiteitstheorie is een theorie die gebruik maakt van het wiskundige raamwerk dat bekend staat als (semi-) Riemanniaanse meetkunde . In deze tak van de wiskunde bestudeert men ruimtes die in zekere zin glad zijn en die zijn uitgerust met een metriek . Laten we eerst proberen te begrijpen wat deze twee dingen betekenen.

De eigenschap gladheid kan worden geïllustreerd door het intuïtieve (en historisch belangrijke!) Voorbeeld van een glad (tweedimensionaal) oppervlak in een gewone driedimensionale ruimte . Stel je bijvoorbeeld het oppervlak van een geïdealiseerde voetbal voor, dat wil zeggen een 2-bol. Als je je aandacht nu richt op een heel klein stukje van het oppervlak (houd de bal tegen je eigen gezicht), lijkt het alsof de bal vrijwel plat is. Het is echter duidelijk niet globaal plat. Zonder rekening te houden met wiskundige nauwkeurigheid, kunnen we zeggen dat ruimtes die de eigenschap hebben om lokaal plat te lijken, in zekere zin glad zijn. Wiskundig gezien noemt men ze spruitstukken. Natuurlijk is een globaal vlak oppervlak, zoals een oneindig vel papier, het eenvoudigste voorbeeld van zon ruimte.

In Riemann-geometrie (en differentiële geometrie meer in het algemeen) bestudeert men dergelijke gladde ruimtes (variëteiten) van willekeurige afmetingen. Een belangrijk ding om te beseffen is dat ze kunnen worden bestudeerd zonder je voor te stellen dat ze zijn ingebed in een hoger-dimensionale ruimte, dwz zonder de visualisatie die we konden gebruiken met de voetbal, of enige andere verwijzing naar wat kan al dan niet ” buiten ” de ruimte zelf zijn.Men zegt dat men ze, en hun geometrie, intrinsiek kan bestuderen.

De metriek

Als het gaat om het intrinsiek bestuderen van de geometrie van spruitstukken, is de belangrijkste object van studie is de metriek (tensor). Natuurkundigen duiden het doorgaans aan met $ g _ {\ mu \ nu} $ . In zekere zin schenkt het ons een idee van afstand op het spruitstuk. Overweeg een tweedimensionaal verdeelstuk met metriek, en plaats er een ” coördinatenraster ” op, dwz wijs aan elk punt een set van twee toe getallen, $ (x, y) $ . Vervolgens kan de statistiek worden bekeken als een $ 2 \ times 2 $ -matrix met $ 2 ^ 2 = 4 $ inzendingen. Deze vermeldingen zijn gelabeld met de subscripts $ \ mu, \ nu $ , die elk kunnen worden gekozen om gelijk te zijn aan $ x $ of $ y $ . De statistiek kan dan worden opgevat als een eenvoudige reeks getallen:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

We moeten ook stel dat de metriek zo is gedefinieerd dat $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , dwz dat hij symmetrisch is met betrekking tot zijn indices. Dit impliceert dat in ons voorbeeld $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Overweeg nu twee punten die dichtbij zijn, zodat het verschil in coördinaten tussen de twee $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ We kunnen dit in steno-notatie aanduiden als $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ waarbij $ \ mu $ is ofwel $ x $ of $ y \;, $ en $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ en $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Vervolgens definiëren we het kwadraat van de afstand tussen de twee punten, genaamd $ \ mathrm {d} s \;, $ als

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ som _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Om een idee te krijgen van hoe dit in de praktijk werkt, laten we eens kijken naar een oneindige twee dimensionale platte ruimte (dwz de bovengenoemd vel papier), met twee ” standaard ” vlakke coördinaten $ x, y $ erop gedefinieerd door een vierkant raster. Dan weten we allemaal van de “theorem van Pythagoras” dat

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ som _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Dit toont aan dat, in dit geval, de natuurlijke statistiek op vlakke tweedimensionale ruimte wordt gegeven door

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {jj} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Nu we weten hoe we ” ” afstanden tussen nabijgelegen punten kunnen meten kunnen we een typische techniek uit de basisfysica gebruiken en kleine segmenten integreren om de afstand te verkrijgen tussen punten die verder verwijderd zijn:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ som _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Het ge generalisatie naar hogere dimensies is eenvoudig.

Krommingstensoren

Zoals ik in het bovenstaande probeerde te beargumenteren, definieert de metrische tensor de geometrie van onze variëteit (of ruimtetijd, in het fysieke geval) . In het bijzonder zouden we in staat moeten zijn om alle relevante informatie over de kromming van het verdeelstuk eruit te halen. Dit wordt gedaan door de Riemann (kromming) tensor $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , wat een zeer gecompliceerd object is dat, in analogie met de array-visualisatie van de metriek, kan worden beschouwd als een vierdimensionale array, waarbij elke index $ N $ waarden als er $ N $ coördinaten $ \ {zijn x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ op het verdeelstuk (dwz als we “te maken hebben met een $ N $ -dimensionale ruimte). Het wordt puur gedefinieerd in termen van de metriek op een gecompliceerde manier die op dit moment niet al te belangrijk is. Deze tensor bevat vrijwel alle informatie over de kromming van het spruitstuk – en veel meer dan wij natuurkundigen doorgaans in geïnteresseerd zijn. Soms is het echter handig om de Riemann-tensor goed te bekijken als men echt wil weten wat er aan de hand is.Bijvoorbeeld, een overal verdwijnende Riemann-tensor ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garandeert dat de ruimtetijd vlak is. Een beroemd geval waarin zoiets nuttig is, is in de Schwarzschild-statistiek die een zwart gat beschrijft, dat uniek lijkt te zijn in de Schwarzschild-straal $ r = r_s \ neq 0 $ . Bij inspectie van de Riemann-tensor wordt duidelijk dat de kromming hier eigenlijk eindig is, dus men heeft te maken met een coördinaat singulariteit in plaats van een ” reëel ” gravitationele singulariteit.

Door bepaalde ” delen van ” de Riemann-tensor, kunnen we een deel van de informatie die het bevat weggooien in ruil voor het feit dat we alleen te maken hebben met een eenvoudiger object, de Ricci-tensor:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Dit is een van de tensoren die voorkomt in de Einstein-veldvergelijkingen. de tweede term van de vergelijkingen bevat de Ricci scalair $ R $ , die wordt gedefinieerd door nogmaals contracting ( een mooi woord voor ” dat alle mogelijke indexwaarden van sommige indices “) de Ricci tensor optelt, dit keer met de inverse statistiek $ g ^ {\ mu \ nu} $ die kan worden geconstrueerd uit de gebruikelijke statistiek door de vergelijking

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {and} 0 \ \ text {else} $$

Zoals beloofd is de Ricci-scalaire samentrekking van de Ricci-tensor en omgekeerd metrisch:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Natuurlijk bevat de Ricci-scalaire waarde opnieuw minder informatie dan de Ricci-tensor, maar hij is nog gemakkelijker te hanteren . Gewoon vermenigvuldigen met $ g _ {\ mu \ nu} $ resulteert opnieuw in een tweedimensionale array, net als $ R _ {\ mu \ nu} $ en $ T _ {\ mu \ nu} $ zijn. De specifieke combinatie van kromtestensoren die in de Einstein-veldvergelijkingen voorkomt, staat bekend als de Einstein-tensor

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

De kosmologische constante

Er is een term die we tot nu toe hebben weggelaten: de kosmologische constante term $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Zoals de naam suggereert, is $ \ Lambda $ gewoon een constante die de statistiek vermenigvuldigt. Deze term wordt soms aan de andere kant van de vergelijking geplaatst, omdat $ \ Lambda $ kan worden gezien als een soort ” energie-inhoud ” van het universum, die wellicht beter gegroepeerd is met de rest van de materie die wordt gecodificeerd door $ T _ {\ mu \ nu} $ .

De kosmologische constante is vooral van belang omdat het een mogelijke verklaring geeft voor de (on) beroemde donkere energie die voor bepaalde belangrijke kosmologische waarnemingen. Of de kosmologische constante werkelijk niet-nul is in ons universum is een open vraag, evenals de verklaring van de waardewaarnemingen die ervoor suggereren (het zogenaamde kosmologische constante probleem aka ” de slechtste voorspelling van theoretische fysica ooit gemaakt “, een van mijn persoonlijke interesses).

---

PS. Zoals aangegeven in de opmerkingen, als je dit leuk vond, kun je ook genieten van het lezen van deze vraag en de antwoorden erop, die betrekking hebben op die andere belangrijke vergelijking van de algemene relativiteitstheorie, die de beweging beschrijft van ” testdeeltjes ” in gekromde ruimtetijden.

Einsteins vergelijking relateert de inhoud van de materie (rechterkant van de vergelijking) aan de geometrie (de linkerkant) van het systeem. Het kan worden samengevat met “massa creëert geometrie, en geometrie gedraagt zich als massa”.

Laten we voor meer details eens kijken wat een tensor is. Een tensor met twee indexen (wat we hebben in de vergelijking van Einstein), kan worden gezien als een kaart die de ene vector in een andere vector brengt. De spanningsenergietensor neemt bijvoorbeeld een positievector en retourneert een momentumvector (wiskundig gezien $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, en ik mix overal vectoren en co-vectoren om de discussie te vereenvoudigen). De interpretatie is dat de rechterkant van Einsteins vergelijking ons het momentum vertelt dat door een oppervlak gaat dat wordt bepaald door de positievector.

De linkerkant kan ook op deze manier worden geïnterpreteerd. De Ricci-kromming $ R _ {\ mu \ nu} $ neemt een positievector en retourneert een vector die aangeeft hoeveel de kromming verandert door het oppervlak gedefinieerd door $ \ vec {x} $. De tweede en derde term, die beide factoren hebben van de metriek $ g _ {\ mu \ nu} $, vertellen ons hoeveel afstandsmetingen worden gewijzigd bij het reizen langs de vector. Er zijn twee bijdragen aan deze verandering in afstand: de scalaire kromming $ R $ en de $ \ Lambda $. Als $ R _ {\ mu \ nu} $ “kromming in één richting” is, dan is $ R $ de “totale kromming”. $ \ Lambda $ is een constante die ons vertelt hoeveel aangeboren energie lege ruimte heeft, waardoor alle afstanden groter worden voor $ \ Lambda > 0 $.

Dus , door de vergelijking van rechts naar links te lezen, vertelt de vergelijking van Einstein ons dat momentum (bewegende massa) zowel kromming veroorzaakt als een verandering in de manier waarop afstanden worden gemeten. Van links naar rechts lezen, vertelt Einsteins vergelijking ons dat kromming en verandering afstand werkt net als bewegende massa. “

Reacties

• Wow – geweldige vereenvoudigde uitleg.
• @levitopher Waarom het ‘ heet ” stress ” in stress-energie?
• Het was dit OK: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Stap voor stap afleiding van Einstein Field Equations (EFE) op mijn blog: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Betekenis van EFE (door Wheeler): “Ruimte-tijd vertelt materie hoe te bewegen, materie-energie vertelt ruimte-tijd hoe te buigen”

Simpele woorden voor EFE: “Geometry” = “Curvature” (geen torsie in de algemene relativiteitstheorie houdt in dat het energie-momentum symmetrisch is, zoals blijkt uit de metriek Ricci tensor en de Einstein tensor).

Een serieuzere betekenis is de volgende:

-Linkshandige kant: Einstein-tensor bestaat uit twee (drie als je de kosmologische term meetelt). Ze meten de kromming die wordt veroorzaakt doordat een lokale ruimtetijdmetriek niet constant is (Minkowski-metriek is vlakke ruimte-tijd, zwaartekracht ingeschakeld impliceert dat de metriek een veld is, dwz afhankelijk van de lokale ruimte-tijdcoördinaten), en het impliceert een lokale kromming gemeten door de kromming scalair en de Ricci tensor, die gecombineerd zoals Einstein (en Hilbert) deden, levert een divergentieloze stroom (dwz behoud van energie-momentum door gelijk te stellen aan de rechterkant).

-Right-handed side: energie-momentum van velden, waardoor ruimte-tijd vervormt / bocht / bocht. Je kunt aan deze kant de kosmologische term toevoegen, dan donkere energie genoemd … Het levert op dat donkere energie op de een of andere manier (met enige zorg) de energie is van vacuümruimte-tijd. En we denken dat het niet alleen niet-nul is, maar het belangrijkste kosmische ingrediënt dat de materie-energie op dit moment maakt (ongeveer 70%, WMAP + PLANCK-satellieten lijken het hiermee eens te zijn …).