Wat is de meest algemene vorm voor de golfvergelijking? Is het $ \ frac {\ partiële ^ 2 \ Psi} {\ partiële t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Can $ \ frac {\ gedeeltelijk ^ 2 \ Psi} {\ partieel t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ een golfvergelijking zijn? Zo ja, wat is in dat geval de oplossing.
Antwoord
Ik “weet niet zeker wat u bedoelt met $ cte $ , maar ik neem aan dat het een constante is, maar ik interpreteer het misschien verkeerd
We hebben het vaak over twee klassen differentiaalvergelijkingen, homogeen en inhomogeen. Dit onderscheid is de wortel van je vraag, \ begin {vergelijking } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partiële_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ einde {vergelijking} is de homogene vorm van de golfvergelijking, terwijl \ begin {vergelijking} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partiële_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {equation} is de inhomogene golfvergelijking ($ u (\ vec {r}, t) $ kan ook constant zijn als we dat willen). Een voorbeeld is dat elektromagnetische straling in aanwezigheid van ladingen en stromen wordt beheerst door de inhomogene golfvergelijking, de homogene vorm is alleen geldig als $ \ rho = 0 $ en $ \ vec {J} = 0 $. Afhankelijk van wie je het vraagt, denk ik dat de meeste mensen nog steeds de inhom zouden zeggen oogenische golfvergelijking is een golfvergelijking, maar dat is aan de smaak, want de oplossingen kunnen een heel ander karakter hebben dan de homogene.
Over het algemeen kan ik niet veel zeggen over deze oplossingen aangezien ze “sterk afhankelijk zullen zijn van de vorm van $ u $, hoewel ik” zeker weet dat wat googlen je veel voorbeelden zal geven.
Opmerkingen
- Perfect. En hoe zit het met gedempte golfvergelijking? Wat is zijn vorm?
Antwoord
Mason behandelde het onderscheid tussen inhomogene en homogene differentiaalvergelijkingen, maar als er een spreekt over de meest algemeen mogelijke vorm van de golfvergelijking, het is:
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
waarbij beide velden de rang $ (m, n) $ tensoren hebben, waarop wordt gereageerd door de Laplace-Beltrami-operator $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ waarvan de werking op de tensoren afhangt van zowel de metriek als hun rangorde. Voor een scalair veld met metriek $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, reduceert het tot de meest bekende vorm van de golfvergelijking, $ (\ gedeeltelijke ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Het bovenstaande kan ook worden herschikt in de taal van differentiaalvormen.)
Dit dekt echter in zekere zin niet alle mogelijkheden. In de algemene relativiteitstheorie is bijvoorbeeld voor een verstoring $ h_ {ab} $ van de metriek de eerste volgordewijziging in de kromming:
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ vierkant h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
wat in de literatuur wordt opgevat als de gekromde ruimte “golfoperator” omdat het zeker golfoplossingen toelaat, maar duidelijk niet equivalent is aan de golfvergelijking hierboven, aangezien het andere termen met betrekking tot krommingstensoren. De “meest algemene vorm” van de golfvergelijking is dus niet iets dat we echt kunnen opschrijven, tenzij jouw idee ervan strikt $ (\ gedeeltelijke ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
