Stel dat we een functie $ u $ op een discrete manier in een bal hebben gedefinieerd: we kennen alleen de waarden van $ u $ in de knooppunten $ (i, j, k) $ van bolvormig raster, waar $ i $ een straalcoördinaat is, $ j $ een coördinaat is voor hoek $ \ varphi $, $ k $ een coördinaat is voor hoek $ \ psi $ .
Beschouw een vectorfunctie $$ \ nabla u_ {i, j, k} = \ left (\ frac {\ partiële u} {\ partiële r} _ {i, j, k}, \ frac {1} {r_i \ sin \ psi_k} \ frac {\ partiële u} {\ partiële \ varphi} _ {i, j, k}, \ frac {1} {r_i} \ frac {\ partiële u} {\ gedeeltelijke \ psi} _ {i, j, k} \ right) – $$ gradiënt van $ u $.
Ik moet de waarden weten van $ \ nabla u_ {i, j, k} $ op z-as in cartesische coördinaten, wat overeenkomt met $ \ psi = 0 $ – as in sferische coördinaten, maar we kunnen de bovenstaande formule niet gebruiken, omdat in het geval $ \ psi = 0 $ de tweede term in oneindig verandert. / p>
Eigenlijk kunnen we de waarden van $ \ frac {\ partiële u} {\ partiële z} $ vinden met behulp van de formule van numerieke afgeleide, maar we hebben een probleem met het vinden van $ \ frac {\ gedeeltelijke u} {\ gedeeltelijke x} $, $ \ frac {\ gedeeltelijke u} {\ gedeeltelijke y} $, omdat het raster niet rechthoekig is. Kun je me hiermee helpen en me adviseren wat ik moet doen?
Reacties
- Kun je de numerieke afgeleide in de $ (r, \ varphi, \ psi) $ coördinatensysteem? Dit zou je een vector moeten geven die je vervolgens kunt projecteren op de $ x $ – $ y $ – en $ z $ -assen om je de $ x $ – $ y $ – en $ z $ -componenten van het verloop
- Nee, we kunnen geen numerieke afgeleide berekenen, omdat voor $ \ psi = 0 $ $ \ varphi $ -hoek niet gedefinieerd is en we singulariteit hebben in de formule.
- Er is waarschijnlijk een oplossing met behulp van quaternions, maar het is nogal lastig om erachter te komen hoe dat er precies uitziet mbt. uw naamgeving. Het effect dat u probeert te bestrijden, wordt gewoonlijk " gimbal-lock
- Ik heb een variant gevonden om deze dingen correct aan te pakken: hier kunnen we de methode met de minste kwadraten gebruiken voor de reconstructie van kleurovergangen, maar ik heb geen exacte uitleg gevonden, hoe je het moet gebruiken
- Misschien is het ' het geval – voor redelijk goed opgevoede $ u $$ – dat $ \ lim _ {\ psi \ to 0} \ frac {1} {\ sin \ psi} \ frac {\ partiële u} {\ partiële \ phi} = 0 $. Maar ik denk niet ' niet dat de middelste component van uw vector betekenis heeft, dus als u ' dit opnieuw in een differentiaalvergelijking in polaire coördinaten, kan de differentiaalvergelijking ook geen gewicht toekennen aan de middelste coördinaat.
Answer
Er zijn 3 manieren om vermijd deze situatie, maar voor gebruik moet men controleren of deze manier geschikt is vanwege een rekenfout:
1) Green-Gauss cel methode: hier wordt de definitie van verloop gebruikt:
$$ \ nabla u_i \ circa \ frac {1} {V_ {i}} \ int \ limieten _ {\ gedeeltelijke V_i} ud \ overline {S} \ circa \ som \ limieten_ {k = 1} ^ {n} {u_ {f_k} S_k \ overline {n} _k}, $$ waarbij $ k $ – aantal buren van cel $ V_ {i} $
2) Kleinste kwadratenmethode: de fout
$$ \ sum \ limit_ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {d_ {ik}} E_ {i, k} ^ {2}}, E_ {i, k} = \ nabla u_i \ cdot \ Delta r_ {i, k} + u_i-u_k $$ moet worden geminimaliseerd, daarom krijgen we de componenten van $ \ nabla u_i $
3) Interpolatiemethode. De waarde van het verloop wordt geïnterpoleerd uit de waarden van de verloopvectorfunctie.