De QM-spinoperator kan worden uitgedrukt in termen van gamma-matrices en ik probeer een oefening te doen waarbij ik een identiteit die $ \ gamma ^ 5 $ en $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf gebruikt {\ alpha} $$
Bij mijn eerste poging deed ik dit rechtstreeks in de Dirac-weergave, maar in de oefening staat dat ik dit niet kan, kan iemand anders adviseren? Is er een identiteit of truc waardoor ik dit kan doen?
Ter verduidelijking: $ \ alpha $ is de volgende matrix waarin de niet-nul-elementen de Pauli-matrices zijn:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
waar
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Reacties
- Wat is $ \ alpha $ en $ {\ bf S} $ expliciet?
- Alpha is de matrix waarvan de ingangen niet op de voorste diagonaal Pauli-matrices zijn, maar niet zeker weet hoe dat helpt.
- Hoe verwacht je dat wij je helpen een identiteit te bewijzen zonder een duidelijke definitie van alle betrokken symbolen?
- @Hollis Je kunt toch op zijn minst zeggen wat $ \ alpha $ zou moeten betekenen. Het ' is geen standaardnotatie zoals de gamma-matrices.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ is standaard als de $ \ gamma $ -matrices. De meeste standaard natuurkundeboeken introduceren $ \ mathbf {\ alpha} $ zelfs vóór de $ \ gamma $ matrices.
Antwoord
Ik volg de conventies van Wikipedia met de volgende definities: $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ waarbij $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Dit gezegd hebbende, noteren we nu $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Expliciet, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Vervolgens $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Dus $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$