Weet iemand wat $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $ zou zijn, waarbij $ t ^ a $ etc zijn Gell-Mann-matrices? Dit kwam tot stand bij het analyseren van de kleurfactor voor het compton-effect voor QCD. Het moet dus vrij algemeen zijn, maar ik kon geen goede referentie vinden. Is er in het algemeen een referentie voor het traceren van een willekeurig aantal Gell Mann-matrices?
Antwoord
Ik neem de SU (N) generatoren in de fundamentele representatie genormaliseerd zodat $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
De commutator van twee generatoren bepalen de structuurconstanten $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
De anticommutator van twee generatoren is
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
waarbij met $ 1 $ de identiteitsmatrix bedoel en $ d ^ {abc} $ het “d-symbool” zijn, gedefinieerd als
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ left [\ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} T ^ c \ right] $$
Dan is er een bruikbare identiteit
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Ik raad je deze referentie aan http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf waar verschillende trace-identitites worden verzameld. Kijk voor jouw geval naar vergelijking 75 in bijlage B, pagina 9.
Controleer de normalisatie van de generatoren voordat je deze identiteit gebruikt.
Opmerkingen
- In de regel worden alleen links naar antwoorden actief ontmoedigd, want als de link doodgaat, is het antwoord nutteloos. Gebruik Mathjax om de juiste vergelijkingen aan te passen, zodat het antwoord op zichzelf kan staan.
- @Angela als dit uw vraag beantwoordt, moet u deze als beantwoord markeren.