The Frog Riddle – Conditional Probabilities

Laten we eens kijken naar het paar kikkers. Mannelijke kikkers worden in de video geïdentificeerd door te kwaken.

Zoals uitgelegd in de video, voordat we gekwak horen, zijn er 4 even waarschijnlijke resultaten bij 2 kikkers:

• Kikker 1 is Mannelijk, Kikker 2 is Mannelijk
• Kikker 1 is Vrouwelijk, Kikker 2 is Mannelijk
• Kikker 1 is Mannelijk, Kikker 2 is Vrouw
• Kikker 1 is Vrouw, Kikker 2 is Vrouw

Als we aannames maken over mannetjes en vrouwtjes die gelijk en onafhankelijk voorkomen, is onze steekproefruimte $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, en we hebben een kans van $ 1/4 $ voor elk element.

Nu, zodra we het gekreun horen afkomstig van dit paar, weten we dat ten minste één kikker mannelijk is. De gebeurtenis $ (F, F) $ is dus onmogelijk. We hebben dan een nieuwe, verminderde monsterruimte die wordt veroorzaakt door deze voorwaarde: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Elke overgebleven mogelijkheid is nog steeds even waarschijnlijk, en de probabili Ty van alle evenementen bij elkaar opgeteld moet $ 1 $ zijn. De kans op elk van deze drie gebeurtenissen in de nieuwe voorbeeldruimte moet dus $ 1/3 $ zijn.

De enige gebeurtenis die voor ons slecht afloopt, is $ (M, M) $, dus er is een $ 2 / 3 $ overlevingskans.

---

Meer formeel zegt de definitie van voorwaardelijke kans:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Dus als $ A $ de gebeurtenis is dat er ten minste één vrouwtje aanwezig is en $ B $ de gebeurtenis is dat er ten minste één mannetje aanwezig is, dan geldt: \ begin {align} P (\ text {F gegeven ten minste 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F en ten minste 1 mannetje})} {P (\ text {at tenminste 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M en 1 F})} {P (\ text {1 M of 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Dit is eigenlijk dezelfde procedure die we hebben doorlopen als hierboven.

Opmerkingen

• Hallo mb7744, bedankt voor de snelle reactie. Ik begrijp het antwoord zoals het is opgemaakt, maar dit lijkt me dubbeltellingen en daarom heb ik ‘ moeite om het antwoord te accepteren. (M, F) = (F, M), zeker, en zo niet, waarom?
• (M, F) en (F, M) zijn niet dezelfde gebeurtenis. Als de ene kikker Alex heet en de andere kikker Taylor, dan kan Alex het vrouwtje zijn en Taylor het mannetje OF andersom. Alex en Taylor zouden het er waarschijnlijk niet mee eens zijn dat dit onderscheid zinloos is. Nu kunt u de twee gebeurtenissen als equivalent zien.Uw drie uitkomsten (M, M), (F, F) en (M, F) zijn echter niet even waarschijnlijk. De gemengde koppeling is twee keer zo waarschijnlijk. Dit is dezelfde reden waarom de kans veel groter is dat je een 7 gooit met een paar dobbelstenen dan een 2, zelfs als je alle verschillende manieren om een 7 te gooien als equivalent beschouwt.
• Hallo, ik denk dat dit helpt duidelijk te maken waar ik ‘ m niet ‘ ‘ het raadsel krijg. Als ik het probleem mag herhalen terwijl ik het ‘ m zie, vervang dan kikker door een toss (of een worp met dobbelstenen). Als je twee munten moet omdraaien en bepaalde combinaties moet uitsluiten, zou ik het antwoord volledig accepteren. In het raadsel ‘ s analogie lees ik dit echter omdat we maar één keer opgooien. De andere is al gemaakt en kan de uitkomst van de ander niet veranderen. Als we niet weten welke van de twee uitkomsten al is bepaald, kunnen we ‘ niet twee munten omdraaien en kiezen welke uitkomsten we wel of niet willen opnemen. Dus gebruikmakend van de dobbelstenen-worp-analogie …..
• … je mag twee dobbelstenen gooien, maar één dobbelsteen weet je niet beslist. Je hebt maar 1/6 kans om een getal 7-12 te maken. Heb ik het hier mis?
• Als we kijken naar alle paren van even waarschijnlijke uitkomsten bij het gooien van dobbelstenen, volgorde is belangrijk . Stel je voor dat de ene dobbelsteen blauw is en de andere rood, en we schrijven onze uitkomsten met de blauwe dobbelsteen eerst en de rode dobbelsteen als laatste. Dan is de uitkomst (1,2) niet hetzelfde als de uitkomst (2,1). En, zoals eerder, is de kans dat een ” 1 en een 2 wordt gegooid, ongeacht de volgorde ” twee keer zo groot als bijvoorbeeld , een paar 2s rollen. Voor uw laatste vraag neem ik aan dat u bedoelde te zeggen dat de uitkomst van één dobbelsteen ‘ s als 6 was. In dat geval heb je gelijk.

Aangezien de wiskunde al klaar is, zal ik proberen om enige intuïtie bieden. Het probleem is dat weten dat ten minste één kikker mannelijk is, iets anders is dan weten dat een specifieke kikker mannelijk is. Het eerste geval bevat minder informatie en dit vergroot effectief onze kansen op de laatste situatie .

Roep de kikkers links en rechts, en stel dat ons wordt verteld dat de rechter kikker een mannetje is. Dan hebben we twee mogelijke gebeurtenissen uit de voorbeeldruimte geëlimineerd: de gebeurtenis waarbij beide kikkers zijn vrouwelijk en de gebeurtenis waarbij de linker kikker mannelijk is en de rechter kikker vrouwelijk. Nu is de kans echt de helft en het maakt niet uit welke we kiezen. Precies hetzelfde argument is waar als we leren dat de linker kikker mannelijk is.

Maar als ons alleen wordt verteld dat ten minste één kikker mannelijk is, wat er gebeurt als we het kwaken horen, dan kunnen we niet elimineer de gebeurtenis dat de linker kikker een mannetje is en de rechter kikker een vrouwtje. We kunnen alleen de gebeurtenis elimineren dat ze allebei vrouwelijk zijn, waardoor de kans dat er tenminste één vrouw is waarschijnlijker is dan in de vorige situatie.

Ik denk dat de reden waarom dit verwarrend is, is dat we natuurlijk denken dat we dat leren Ten minste één daarvan is mannelijk, waardoor we niet geneigd zijn om het paar kikkers te kiezen. Het is waar dat deze informatie het minder waarschijnlijk maakt dat ten minste één vrouwtje is, maar besef ook dat er een volle driekwart kans was op ten minste één vrouw voordat we überhaupt iets leerden. Het is de dubbelzinnigheid van de informatie die we ontvangen die ervoor zorgt dat we toch de voorkeur moeten geven aan de twee kikkers boven de ene.

Opmerkingen

• Bedankt dsaxton, intuïtief koos ik voor de twee kikkers, maar mijn redenering vertelde me dat beide keuzes even waarschijnlijk waren.
• Bedankt dsaxton, ik vermoed dat het ‘ s de formulering van het raadsel dat me naar voren werpt. Zoals we tegenkwamen, zijn de twee kikkers niet te onderscheiden (zonder verdere informatie), dus ik zie het onderscheid (M, F), (F, M) niet als zinvol in dit context. Ik ben er niet van overtuigd dat mijn redenering onjuist is, maar mijn excuses als ik gewoon een beetje traag ben.
• Nogmaals bedankt dsaxton. Zoals hierboven vermeld, ‘ heb de mentale ophanging gevonden die ik had en kan nu zien waarom het antwoord het juiste antwoord is (en de vraag die ik eigenlijk probeerde te beantwoorden). Nogmaals bedankt voor je hulp, want het antwoord zien is gewoon niet hetzelfde als de hulp om het echt te begrijpen.

Je intuïtie is in dit geval correct. Zoals het probleem wordt gesteld, is uw overlevingskans 50%. De video geeft onjuist de probleemruimte weer op basis van de informatie die we hebben en komt daarom tot een verkeerde conclusie. De juiste probleemruimte bevat 8 voorwaarden en is als volgt.

We hebben twee kikkers op een stam, en een van hen heeft gekrast wat zijn onze mogelijkheden?(M staat voor man, F staat voor vrouw en c staat voor croaked, eerste positie is links, tweede positie is rechts)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Elk geval is even waarschijnlijk gebaseerd op de informatie die we hebben, wanneer we de voorwaarden elimineren, gezien de wetenschap dat een mannelijke kikker heeft gekrast. We vinden dat er 4 resultaten te verwachten zijn. Linker mannelijke kikker kraste naast een rechter mannelijke kikker die stil was. Rechter mannelijke kikker kraste naast een linker mannelijke kikker die stil was. Of er was een kwakende mannelijke kikker in beide richtingen gepaard met een enkele vrouwelijke kikker. Om dit op een intuïtieve manier te begrijpen, hebben de twee mannelijke kikkers twee keer zoveel kans om te kwaken dan de mannelijke kikker in combinatie met een vrouwtje, dus we moeten het op de juiste manier wegen.

Je zou ook de zoekruimte kunnen verdelen door kwakende kikker (C) en niet kwakende kikker (N). Omdat de kwakende kikker 100% een mannetje is, kun je hem uit je zoektocht verwijderen, omdat hij je niet kan helpen om te overleven. Terwijl de auteur van plan was een “monty hall-probleem” te creëren, creëerden ze onbedoeld een “jongen of meisje paradox”.

De volgende vragen leveren verschillende resultaten op:

Gegeven dat er een mannetje is, wat is de kans dat de ander een vrouwtje is?

Gezien het feit dat een mannetjeskikker wat kraste is de kans dat de ander een vrouw is?

Ik weet meer informatie in het tweede geval

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Een duidelijker antwoord hierop, aangezien het vorige te lang was en niet gemakkelijk te begrijpen.

De mogelijke uitkomsten zijn verschillend, hoewel ik dezelfde letters heb gebruikt. Om de voorbeeldruimte duidelijk te maken, zal ik de mogelijke uitkomsten beschrijven.

MM -> “De man is aan de linkerkant “-” Een willekeurige man aan de rechterkant “

MF -> “Het mannetje is aan de linkerkant” – “Een willekeurig vrouwtje aan de rechterkant”

MM – -> “De man is aan de rechterkant” – “Een willekeurige man aan de linkerkant”

MF -> “Het mannetje staat aan de rechterkant” – “Een willekeurig vrouwtje aan de linkerkant”

Reacties

• Je telt de MM dubbel geval. U kunt ‘ t gewoon alle mogelijke scenarios opsommen zonder er rekening mee te houden of u ‘ via verschillende paden bij hetzelfde scenario terechtkomt.

Het probleem dat ik heb met dit probleem is dat de oplossing verschillende regels lijkt te gebruiken voor wat het beschouwt een mogelijk resultaat voor de twee kikkers die mannelijk en vrouwelijk zijn, en mannelijk en mannelijk.

Het F / M-paar en het M / V-paar zijn verschillend omdat we niet weten of de eerste kikker of de tweede kikker is mannelijk, dus F / M en M / F zijn twee aparte mogelijkheden, ook al komt het resultaat nog steeds neer op “één vrouwelijke kikker, één mannelijke kikker”.

Maar de M / M paar wordt slechts als één mogelijk resultaat beschouwd, ook al zou dezelfde logica moeten gelden: we weten niet welke kikker degene is die het kwakgeluid maakte, dus beide kikkers kunnen degene zijn die we hebben gehoord, en de andere kan nog steeds een mannetje zijn , het is gewoon niet gekraakt.

Commen ts

• Dit heeft meer de aard van een opmerking dan een antwoord op het ” raadsel. ” Verander het in een opmerking en verwijder dit ” antwoord. ”
• @DJohnson In feite is dit een antwoord op het raadsel, hoewel het latere antwoord van tomciopp het duidelijker uitlegt.

Ik weet niets: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Drie paren met ten minste één vrouw uit vier mogelijke combinaties: $ 3/4 $ of $ 75 \% $

Weten dat de eerste man is: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Eén paar met ten minste één vrouwtje uit twee mogelijke combinaties: $ 1/2 $ of $ 50 \% $

Wetende dat er minstens één man is: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Twee paren met ten minste één vrouwtje uit drie mogelijke combinaties: $ 2/3 $ of $ 67 \% $

Voordat we gekwaak horen, zijn er 4 even waarschijnlijke resultaten bij 2 kikkers:

Kikker 1 is Mannetje, Kikker 2 is Mannetje

Kikker 1 is Vrouwtje, Kikker 2 is Mannetje

Kikker 1 is Mannetje, Kikker 2 is Vrouw

Kikker 1 is vrouwelijk, kikker 2 is vrouwelijk

Door de aannames te maken over mannen en vrouwen die gelijk en onafhankelijk voorkomen, is onze steekproefruimte {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, en we hebben een kans van 1/4 voor elk element.

Zodra we het kwaken van dit paar horen, weten we dat ten minste één kikker een mannetje is. Dit mannetje kan evengoed kikker 1 of kikker 2 zijn. Er zijn dus twee even waarschijnlijke uitkomsten voor de kikker 1:

kikker 1 is mannelijk

kikker 1 is willekeurige kikker

Door de aannames te doen over mannetjes en vrouwtjes die gelijk en onafhankelijk voorkomen, is de kans even groot dat de willekeurige kikker een willekeurig mannetje of een willekeurig vrouwtje is.

P (kikker 1 is willekeurig mannetje gegeven dat kikker 1 Willekeurige kikker) = P (kikker 1 is willekeurig vrouwtje gegeven kikker 1 is willekeurig kikker) = 1/2

P (kikker 1 is willekeurig mannetje en kikker 1 is willekeurig kikker) = P (kikker 1 is willekeurig Frog) P (kikker 1 is willekeurig mannetje gegeven kikker 1 is willekeurig kikker) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (kikker 1 is Willekeurig vrouwtje en kikker 1 is willekeurig kikker) = P (kikker 1 is willekeurig kikker) P (kikker 1 is willekeurig vrouwtje gegeven kikker 1 is willekeurige kikker) = (1/2) (1/2) = 1/4

Er zijn dus 3 mogelijke uitkomsten voor de kikker 1:

kikker 1 is mannelijk

kikker 1 is willekeurig mannelijk

Kikker 1 is willekeurig vrouw

en de waarschijnlijkheden zijn:

P (kikker 1 is mannetje) = 1/2

P (kikker 1 is willekeurig mannetje ) = 1/4

P (Frog 1 is Random Female) = 1/4

Nu, voor elke mogelijke uitkomst voor Kikker 1, zijn er 2 mogelijke uitkomsten voor de Kikker 2:

Kikker 2 is een mannetje

Kikker 2 is een willekeurige kikker

Voor elke mogelijke uitkomst voor Kikker 1 is de kans even groot dat de willekeurige kikker een willekeurig mannetje of een willekeurig vrouwtje is.

Dus voor elke mogelijke uitkomst voor kikker 1 zijn er 3 mogelijke uitkomsten voor de kikker 2:

kikker 2 is mannelijk

kikker 2 is willekeurig mannelijk

Kikker 2 is een willekeurig vrouwtje

P (kikker 2 is een man, gezien een kikker 1 is een man) = 0

P (kikker 2 is een man, gezien een kikker 1 is een willekeurig mannetje) = 1

P (Kikker 2 is een mannetje gegeven Kikker 1 is een willekeurig vrouwtje) = 1

P (Kikker 2 is een willekeurig mannetje gegeven dat Kikker 1 een mannetje is) = 1/2

P (Kikker 2 is willekeurig mannetje gegeven kikker 1 is willekeurig mannetje) = 0

P (Kikker 2 is willekeurig mannetje gegeven kikker 1 is willekeurig vrouwtje) = 0

P (Kikker 2 is willekeurig vrouwtje gegeven kikker 1 is mannetje) = 1/2

P (kikker 2 is willekeurig vrouwtje gegeven kikker 1 is willekeurig mannetje) = 0

P (kikker 2 is Random Vrouw gegeven Frog 1 is Random Fe mannetje) = 0

P (kikker 2 is willekeurig mannetje en kikker 1 is mannetje) = P (kikker 1 is mannetje) P (kikker 2 is willekeurig mannetje gegeven kikker 1 is mannetje) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Kikker 2 is willekeurig vrouwtje en kikker 1 is mannetje) = P (Kikker 1 is mannetje) P ( Kikker 2 is willekeurig vrouwtje gegeven kikker 1 is mannetje) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (kikker 2 is mannetje en kikker 1 is willekeurig mannetje) = P (kikker 1 is willekeurig mannetje) * P (kikker 2 is mannetje gegeven kikker 1 is willekeurig mannetje) = (1/4) * 1 = 1/4

P (kikker 2 is mannetje en kikker 1 is willekeurig vrouwtje) = P (kikker 1 is willekeurig vrouwtje) * P (kikker 2 is mannetje gegeven kikker 1 is willekeurig vrouwtje) = (1/4) * 1 = 1/4

Dus, onze steekproefruimte is {(Man, Willekeurig Man), (Man, Willekeurig Vrouw), (Willekeurig Man, Man), (Willekeurig Vrouw, Man)}, en we hebben een kans van 1/4 voor elk element.

P (F gegeven minimaal 1 M) = P (F en minimaal 1 mannetje) / P (minimaal 1 M) = P (1 M en 1 F) / P (1 M of 2 M) = P [( Man, Willekeurig Vrouw), (Willekeurig Vrouw, Man)] / P [(Man, Willekeurig Man), (Man, Willekeurig Vrouw), (Willekeurig Man, Man), (Willekeurig Vrouw, Man)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Reacties

• Heb je uit mijn antwoord gekopieerd en geplakt en de opmaak verwijderd?
• Nou, allereerst een deel van iemand anders kopiëren en plakken ‘ s antwoord zonder het zelfs maar te vermelden is onaanvaardbaar. Afgezien daarvan, als u denkt dat u een ander resultaat heeft bereikt, is er dan een beknoptere manier om het uit te leggen? Je hebt veel losgekoppelde vergelijkingen geschreven zonder enige uitleg.
• Het ‘ is geen literatuur, maar het is nog steeds onbeleefd. Nu, met betrekking tot uw antwoord versus het mijne: ik vind het uwe onzinnig. Wat is de betekenis van de uitkomst ” Kikker 2 is een willekeurige kikker “?
• Jouw antwoord was de enige voorwaardelijke kansen berekenen. Het gebruik van dezelfde termen kan helpen bij het vergelijken en zien welk deel hetzelfde is en welk deel anders. Ik zou kunnen zeggen, ik vind andere antwoorden ook onzinnig, maar ik zei het niet omdat het onbeleefd zou zijn;). Als u dit niet begrijpt, kunt u gewoon om opheldering vragen. ” Kikker 2 is willekeurige kikker ” betekent dat het niet de mannelijke kikker is waarvan bekend is dat hij in het paar zit …
• Er zijn twee bronnen van willekeur, de ene komt van de mannelijke kikker waarvan bekend is dat hij in het paar zit, de andere komt van de kikkerpopulatie. Omdat we weten dat de mannelijke kikker er is, is de onzekerheid zo ongeveer de positie. Is het kikker 1 of kikker 2? Of is het aan de linkerkant of aan de rechterkant? Mijn advies is: gebruik een boomdiagram om een geheel nieuwe voorbeeldruimte op te bouwen en alle beschikbare informatie te gebruiken.