Ik kreeg een probleem voor huiswerk waarbij we de tijd moesten berekenen voordat een vallend object een bepaalde snelheid bereikt wanneer rekening wordt gehouden met sleepkracht. Ik deed het door versnelling in te stellen als een functie van snelheid en te integreren (het was een differentiaalvergelijking).
Dit is echter een inleidende natuurkundecursus, waarbij geen kennis van calculus vereist is. Strikt genomen hebben we nog niet eens afgeleiden gedaan. Ik had het geluk dat ik eerder calculus had gevolgd, dus ik was in staat om de differentiaalvergelijking te herkennen en op te lossen.
Toen ik mijn klasgenoten vroeg hoe ze het deden, zeiden ze dat ze met cijfers rommelden totdat ze iets hadden dat werkte (het was online zonder aftrek van punten voor foute antwoorden Voor de meesten van hen verdeelden ze de eindsnelheid gewoon door versnelling als gevolg van de zwaartekracht, wat nergens op slaat, aangezien er niet eens om de tijd werd gevraagd die nodig was om de eindsnelheid te bereiken, maar 63% ervan. Die methode is toevallig afgerond op hetzelfde getal als de juiste.
Mijn vraag is: is er een manier om deze waarde te vinden met behulp van elementaire fysica, of heeft mijn professor ons een oneerlijk probleem gegeven? De TAs waren “geen hulp en ik heb les tijdens haar kantooruren.
De vraag zelf is als volgt:
De eindsnelheid van een 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg regendruppel is ongeveer 9 m / s. Uitgaande van een weerstand $ F_D = −bv $, bepaal dan de tijd die nodig is voor een dergelijke druppel, beginnend bij rust, om 63 te bereiken % van terminale snelheid.
Reacties
- Aangezien het antwoord een exponentiële / logaritme omvat in één richting of een andere, men zou een soort oplossing moeten ontwikkelen met een exponentiële / logaritme. Kies je gif … Ik heb het gevoel dat ' een benadering van calculus zal zijn.
- Ik denk dat een oplossing met logaritmen redelijk zou zijn. We ' verwachten dat vrijwel zeker te weten. Het probleem is dat ik ' t voor het leven van mij bedenk een manier om dit te doen die geen ' t betrekking heeft op een differentiaalvergelijking. t ' s omdat ik ' gewend ben om problemen op die manier op te lossen nadat ik calculus heb gemaakt. Als iemand een andere methode zou kunnen bedenken, zou dat zeer op prijs worden gesteld.
- Het ' is mogelijk gerelateerd dat 63% $ 1 is – e ^ {- 1} $
Answer
Als de sleepkracht wordt gemodelleerd als een lineaire functie van snelheid $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, dan is het probleem duidelijk . De verticale krachtbalans voor een vallende druppel is $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ punt {v}, $$ wat de volgende differentiaalvergelijking geeft voor de snelheid: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ In het beperkende geval van de maximale snelheid / nulversnelling $ (\ punt {v} = 0) $, vereenvoudigt de krachtbalans tot $$ mg = bv_ {max} , $$ of $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Terug naar onze differentiaalvergelijking: als de beginsnelheid $ v (0) = 0 $, dan is de oplossing voor deze ODE is $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Door de tijdconstante te definiëren als $ \ tau = \ frac { m} {b} $ en door de definitie van de eindsnelheid te gebruiken, vereenvoudigt de tijdsevolutie van de snelheid tot $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ De positie, indien gewenst, is gemakkelijk genoeg te vinden door een andere integratie uit te voeren: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Ervan uitgaande dat de beginpositie $ y (0) = 0 $ en vereenvoudigd, is de oplossing voor de verticale positie $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ We hebben nu dus analytische oplossingen voor de versnelling, snelheid en positie van het vallende object als functie van de tijd en de systeemparameters, die allemaal bekend zijn ( behalve $ b $). Merk echter op dat de gevraagde tijd om een snelheid van $ 0,63v_ {max} $ te bereiken niet willekeurig is. Nadat een tijdconstante is verstreken, hebben we $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ We hoeven dus alleen maar de waarde van de tijdconstante te berekenen en de resulterende waarde zal uw antwoord zijn. Wat je klasgenoten betreft, ze hebben het niet mis. Ons doel is om $ \ tau $ te berekenen, en als je goed naar onze eerdere wiskunde kijkt, zul je zien dat $ \ tau $ inderdaad gelijk is aan de eindsnelheid gedeeld door $ g $. Octaafplots van de positie-, snelheids- en versnellingsfuncties zijn hieronder ter referentie opgenomen (vervang $ k $ door $ b $ in de tweede plot).
Opmerkingen
- Ja, dat is ons nooit geleerd vergelijking waarnaar u hebt gelinkt. Maar bedankt, dit is vrijwel precies wat ik zocht.Ik wilde gewoon weten of er een algemenere methode was om deze vraag op te lossen die we moesten kunnen achterhalen, en het lijkt erop dat het antwoord nee is.
- @JakeChristensen Misschien is er nog een andere manier om je antwoord te vinden, maar onthoud dat Calculus (tenminste Newton ' s Calculus) is uitgevonden om natuurkundige problemen op te lossen 😉
Antwoord
Doorgaans is de weerstand evenredig met het kwadraat van de snelheid, en dus is de neerwaartse versnelling
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
De oplossing voor een dergelijke beweging is $$ \ begin {uitgelijnd} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {uitgelijnd} $$
Sluit dus de snelheid $ v $ aan die u wilt targeten en het geeft u de afstand $ x $ en $ t $ om het te bereiken.
PS. Als u de sleepparameter $ \ beta $ niet kent, maar in plaats daarvan de topsnelheid kent, kunt u deze schatten op basis van de topsnelheid door $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Antwoord
1) Bepaal de weerstandskracht bij eindsnelheid. 2) Vermenigvuldig deze kracht met 0,63 (63%) 3) Deel deze nieuwe kracht door de massa van de regendruppel 4) Gebruik de snelheidsversnellingstijd kinematische vergelijking om tijd op te lossen $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Reacties
- Dit is niet ' t juist. Je gaat ervan uit dat de versnelling constant is (wat expliciet niet geldt voor veranderende snelheden en luchtweerstand) . Ik ' ga er vanuit dat $ a (t) $ $ a * t $ betekent, want als je $ a $ bedoelt als een functie van $ t $, heeft dat geen zin allemaal.