Twaalf ballen en een schaal

Splits dit i nto drie groepen van vier, A1, A2, A3, A4; B1, B2 …; C1, C2 … Elke stap komt hier overeen met een weging.

• Weeg A tegen B.
  • Als A> B, weeg dan A1, B1 en B2 tegen B3 , B4 en C1.
    • Als de gewichten gelijk zijn, dan is een van A2 … 4 zwaarder; weeg A2 en A3. Als ze gelijk zijn, is A4 zwaarder. Als er een zwaarder is, is die bal het zwaarst.
    • Als de eerste groep zwaarder is, is A1 zwaarder of is B3-4 lichter. Vergelijk B3 en B4; als ze gelijk zijn, is A1 zwaarder; als ze verschillend zijn, is de lichtste de lichtste bal.
    • Als de eerste groep lichter is, dan is B1 of B2 lichter. Weeg ze en kijk.
  • Als A < B, hernummert u alle A-ballen naar B-ballen en voert u het bovenstaande uit stappen.
  • Als A = B, weeg A1, A2, A3 tegen C1, C2, C3
    • Als ze gelijk zijn, weeg dan A1 tegen C4. Als A1 lichter is, dan is C4 de oneven bal en is het zwaar. Als A1 zwaarder is, dan is C4 de oneven bal en het is licht.
    • Als A zwaarder is dan C, weeg dan C1 tegen C2. Als ze gelijk zijn, dan is C3 een vreemde bal en is hij lichter. Als ze niet gelijk zijn, dan is de lichtere van de twee ballen de lichtste bal.
    • Als A lichter is dan C, weeg dan C1 tegen C2. Als ze gelijk zijn, dan is C3 een oneven bal en is hij zwaarder. Als ze niet gelijk zijn, is de zwaarste van de twee ballen de zwaarste bal.

We kunnen achteruit werken vanaf de derde stap om ongeveer te zien waarom dit werkt. Bij de derde weging moeten de opties worden teruggebracht tot twee of drie ballen. Dit betekent dat de tweede weging moet worden teruggebracht tot twee of drie mogelijke ballen.

We weten dat de eerste stap 1/3 of 2/3 van de mogelijke oplossingen zal verwijderen, wat je ook doet. Dit betekent dat u in het 1/3 geval de mogelijkheden moet opsplitsen van 8 in een groep van 3, een groep van 3 en een groep van 2. Hieruit wijst de derde weging naar de vreemde bal. Omdat dit geval impliceert dat één set ballen zwaarder is, weten we door het vinden van de vreemde bal of deze zwaarder of lichter is, dus we hoeven ons eigenlijk helemaal geen zorgen te maken over dit stukje informatie.

In het 2/3 geval moet u de mogelijkheden verkleinen tot een groep van 3 en een groep van 1, wat gemakkelijk intuïtief te doen is. Omdat we in dit geval eigenlijk niet het relatieve gewicht van de oneven bal weten, moet de informatie van de derde weging worden gebruikt om te bepalen of de bal zwaarder of lichter is.

Opmerkingen

• Hoewel dit antwoord juist is, hoopte ik op een antwoord dat de strategie zou verklaren achter de keuzes van de af te wegen items.
• @JoeZ. I ‘ heb iets toegevoegd over hoe ik dit antwoord heb bepaald, hoewel ik ‘ niet zeker weet of ik een algemene oplossing voor dit probleem kan geven. ( Ter info, ik ‘ heb mijn antwoord op je andere vraag aangepast.)
• Wat je ‘ hebt neergezet is prima. Ik dacht meer aan redeneren dan aan strategie, kom er opnieuw over nadenken.

Daar is een andere manier om dit probleem op te lossen, waarbij helemaal geen voorwaardelijke vertakking nodig is. Het is namelijk mogelijk om vooraf een vast weegschema op te stellen en toch in slechts 3 wegingen te bepalen welke bal lichter of zwaarder is. Ik zal hieronder uitleggen hoe.

De kern van dit soort problemen is: hoeveel informatie kun je krijgen van de procedure die je mag ondernemen? Bij elke weging kan de weegschaal naar links, naar rechts kantelen of in evenwicht blijven.Dit geeft je een totaal van 3 ³ = 27 mogelijke uitkomsten, en in dit geval moet je er 24 resultaten uit onderscheiden (een van de 12 ballen is licht of zwaar, dat is 12 × 2 = 24 ).

We moeten dus beginnen met de vervelende taak om elk resultaat in verband te brengen met een uitkomst.

Een van de dingen die we onmiddellijk kunnen opmerken is dat er ook drie toestanden zijn voor elke bal kan tijdens elke weging aanwezig zijn – aan de linkerkant van de weegschaal, aan de rechterkant van de weegschaal of naast de weegschaal. Dit komt natuurlijk overeen met de staten van de schaal op een manier die intuïtief analoog is:

Als de vreemde bal zwaarder is …

• en de bal is aan de linkerkant geplaatst, zal de schaal naar links kantelen.
• en de bal wordt aan de rechterkant geplaatst, de schaal zal naar rechts kantelen.
• en de bal is buiten de schaal blijft de schaal in evenwicht.

Als de bal lichter is, worden de eerste twee gevallen omgekeerd.

Er zijn 27 mogelijke manieren om elke bal te plaatsen in alle drie de wegingen, elk overeenkomend met een andere uitkomst als die bal een vreemde eend in de bijt is. We moeten een arrangement van ballen vinden waarbij elke mogelijke reeks plaatsingen en de inverse (voor de zware en lichte gevallen) verschillend is – dus nee twee ballen zijn op dezelfde plaats voor alle drie de wegingen.

Hier is een voorlopige opstelling die voldoet aan de eigenschap van onderscheidend vermogen. Merk op dat geen enkele mogelijke rangschikking meer dan eens voorkomt in beide tabellen:

 Normal Inverse Ball 1 2 3 1 2 3 1 L R 2 L R 3 L R 4 L R R L 5 L R R L 6 L R R L 7 L L R R 8 L L R R 9 L L R R 10 L L R R R L 11 L R L R L R 12 R L L L R R L = place it on the left R = place it on the right = leave it off 

We lopen meteen tegen het probleem aan dat we niet hetzelfde aantal ballen op elke schaal. Als je zeven ballen aan de ene kant hebt en de ene aan de andere, kantelt de weegschaal natuurlijk met zeven ballen (tenzij je vreemde bal belachelijk zwaar is, maar laten we dat niet vermaken scenario). We moeten dus een paar van deze configuraties omkeren, zodat we er voor elke weging vier aan elke kant plaatsen. Met wat vallen en opstaan kunnen we zoiets krijgen:

 Normal Inverse Ball 1 2 3 1 2 3 1 L R 2 L R 3 R L 4 L R R L 5 R L L R 6 L R R L 7 R R L L 8 L L R R 9 L L R R 10 R R L L L R 11 R L R L R L 12 L R R R L L 

Dus ons laatste weegschema van ballen is als volgt:

Weighing 1: 1 4 8 12 / 5 7 10 11 Weighing 2: 2 6 9 11 / 4 7 10 12 Weighing 3: 5 8 9 10 / 3 6 11 12 

En de resultaten worden als zodanig geïnterpreteerd:

==L : 3L L== : 1H R== : 1L ==R : 3H L=L : 8H R=L : 5H =L= : 2H L=R : 5L R=R : 8L =LL : 9H LL= : 7L RL= : 4L =LR : 6H LLR : 10L RLL : 12L =R= : 2L LR= : 4H RLR : 11H =RL : 6L LRL : 11L RR= : 7H =RR : 9L LRR : 12H RRL : 10H = : scale balanced L : scale tipped to the left R : scale tipped to the right nL : ball n is light nH : ball n is heavy 

En daarom hebben we een weegschema gemaakt waarbij elke weging vooraf volledig is bepaald, dat nog steeds weet te bepalen welke bal de vreemde is en of deze lichter is of zwaarder.

Het is u wellicht opgevallen dat we “LLL, RRR niet hebben gebruikt, of === in onze arrangementen.

We kunnen LLL en RRR negen ballen op de weegschaal moeten plaatsen, en dat kan niet, want negen is oneven. We zou het waarschijnlijk kunnen gebruiken in plaats van een van de LLR/RRL paren, maar laat LLL en RRR out zorgt voor een symmetrie in de resultatentabel die ik wel leuk vind.

Wat echter interessant is, is dat je kunt een 13e bal hebben die je nooit plaats op een weegschaal, en als je weegschaal in alle drie de wegingen in evenwicht is, is de 13e bal die je nooit hebt gewogen de vreemde eend in de bijt (hoewel je natuurlijk niet kunt zien zonder een vierde te wegen of hij lichter of zwaarder is).

Commentaren

• In principe kan men dit dus oplossen met 13 ballen, als men een 14-tal etalonbal heeft. Goed antwoord.
• Waarschijnlijk zelfs 14 ballen, waar de 14e bal zwaarder kan zijn, is oplosbaar, maar het is moeilijker, hoogstwaarschijnlijk kun je ‘ t.

Sommige van de bestaande antwoorden op deze oude vraag zijn uitstekend, maar er is een beroemd antwoord dat Ik denk dat het hier genoemd moet worden. Het komt uit een artikel in Eureka , het jaarlijkse tijdschrift van de wiskundige studentenvereniging van de University of Cambridge, geschreven door CAB Smith onder het pseudoniem “Blanche Descartes”.

Het heeft twee erg leuke eigenschappen. De eerste is dat het een “onvertakte” oplossing is: je hoeft niet te veranderen wat je doet bij latere wegingen, afhankelijk van de resultaten van eerdere wegingen. De tweede is dat als je het eenmaal hebt gezien, het bijna onmogelijk is om het te vergeten.

De oplossing van Smith is volledig in verzen geschreven en bevat een uitleg van hoe het allemaal werkt, maar ik zal alleen de werkelijke antwoord. “F” hier is onze hoofdrolspeler professor Felix Fiddlesticks, wiens moeder hem om hulp heeft gevraagd bij de puzzel. Ik heb enkele onbeduidende wijzigingen aangebracht in de oorspronkelijke opmaak.

F zet de munten op een rij
En krijt op elke letter, dus,
Om de woorden te vormen: F AM NOT LICKED
(An idee in zijn hoofd had geklikt.)

En nu zal hij zijn moeder “bevelen:
” MA, DOE / LIKE
ME TO / VIND
FAKE / COIN! “

Elk van de drie regels van Fs bevel beschrijft één weging.Als je ze allemaal hebt gedaan, bepalen de resultaten op unieke wijze welke munt nep is en op welke manier.

Reacties

• +1. Dit denk ik is een verbeterde versie van Joe Z ‘ s antwoord

Ik heb enige tijd aan deze puzzel gewerkt nadat deze verscheen op “Brooklyn Nine-Nine” (als je wilt, kun je kapitein Holt de puzzel zien beschrijven hier ) en ik schreef hier een gedetailleerde, geïllustreerde oplossing: Island of Tyreses-oplossing . Hierin bepaalde versie Ik probeer een eilandbewoner te vinden, Diffy, die zwaarder of lichter is dan de andere 11 eilandbewoners.

Lessen

De uiteindelijke oplossing houdt rekening met twee dingen die ik heb geleerd van eerdere pogingen:

1. In een groep van vier kan ik Diffy identificeren in twee wegingen.

   A. Eerst zet ik twee eilandbewoners uit de groep tegen twee bekende niet-Dif fys. Als de wip kantelt, weet ik dat Diffy een van deze twee is. Als de wip gelijk blijft, weet ik dat Diffy een van de andere twee is.

   B. Nu selecteer ik een van de resterende twee mogelijke Diffys en zet hem af tegen een bekende non-Diffy. Als de weegschaal kantelt, heb ik Diffy gevonden. Als het bord gelijk blijft, weet ik dat Diffy de laatst overgebleven eilandbewoner is.

   C. Als alternatief, als de wip kantelt in stap A en u wilt weten of DIffy zwaar of licht is, kunt u de richting van stap A noteren en de twee resterende mogelijke diffys op de schaal tegenover elkaar plaatsen. Als de wip in dezelfde richting kantelt als stap A, dan is Diffy nog steeds aan dezelfde kant als hij was tijdens stap A. Anders, als de oriëntatie van de wip verandert, bevindt Diffy zich aan de andere kant.

2. In een groep van drie kan ik Diffy in één weging identificeren, zolang ik maar richtinginformatie heb. Ik zal dit in meer detail beschrijven onder Gebruik # 3.

Oplossing

Vanwege les # 1 kan ik vier eilandbewoners afsplitsen voordat ik de rest check. Als Diffy in die groep van vier zit, komt de eerste weging even uit, en ik kan hem nu uit die vier identificeren met mijn twee overgebleven zetten. Als Diffy niet in die groep van vier zit, heb ik nu vier eilandbewoners die ik kan uitsluiten en ook gebruiken om mijn wip te tarreren.

Dus voor mijn eerste gebruik van de wip heb ik weeg de acht overgebleven eilandbewoners tegen elkaar af met vier aan elke kant.

Gebruik # 1

Ik heb mijn plan al uiteengezet als dit gebruik van de eerste wip gelijkmatig blijkt te zijn, dus wat is het volgende als het vreemd blijkt? Dit is waar het genie om de hoek komt kijken.

Ik heb nu wat “directionele informatie”. Ik zal voortaan in elke richting waarin de wip in gebruik 1 gekanteld is, “Richting 1 ″ of“ D1 ″ noemen. Ik weet dat als Diffy zwaar is, hij van de kant van de wip is die naar beneden is gegaan, en als Diffy licht is, hij van de kant van de wip die naar boven is gegaan. Als ik Diffy verplaats, verandert de wip van richting! Het heeft geen keus omdat Diffy, en alleen Diffy, de wip doet kantelen. Onthoud ook les # 2, ik heb informatie over de richting en een zet na de huidige, dus ik kan drie mogelijke Diffys uitschakelen voordat ik de wip weer gebruik. Ik moet een van de eilandbewoners gebruiken die ik in gebruik 1 heb uitgesloten om drie eilandbewoners aan elke kant te houden.

Gebruik # 2

Als Gebruik # 2 ons een gelijkmatige wip geeft, kunnen we Diffy vinden in de drie die we hebben verwijderd, maar als dat niet het geval is, moeten we opletten in de richting waarin de wip beweegt. Beweeg het op dezelfde manier als voorheen, richting 1, of veranderde het van oriëntatie naar richting 2? Onze volgende keuze zal gebaseerd zijn op het antwoord! Als het in richting 1 bewoog, weten we dat Diffy niet een van de eilandbewoners is die van kant wisselde voor gebruik # 2. Als de wip in richting 2 is bewogen, is Diffy een van de zijwisselaars. Hoe dan ook, we hebben hem tot een van de drie of twee gemaakt. Gebruik # 3 is een beetje moeilijk te generaliseren, omdat het voor elke mogelijkheid anders is.

Gebruik # 3

In het geval dat ik een groep heb van drie mogelijke Diffy-eilandbewoners, twee van die eilandbewoners stonden aan dezelfde kant tijdens gebruik # 1, toen de wip D1 binnenging. Als ik een van deze eilandbewoners aan elke kant van de wip zet en de wip weer naar D1 gaat, dan weten we dat Diffy de eilandbewoner aan de oorspronkelijke kant is. Als de wip naar D2 gaat, weten we dat Diffy zich aan de andere kant van de wip bevindt. Als de wip gelijk blijft, weten we dat Diffy het derde lid van de groep is.

All Mapped Out

Opmerkingen

• Deze oplossing is gebrekkig voor deze vraag.Het is alleen acceptabel als ze vragen om Diffy te identificeren, maar niet of hij lichter of zwaarder is (zie Even – Even – Zelfs in je diagram, L is niet gewogen :)) Aan de andere kant, in dat geval kunnen we de puzzel oplossen met 13 mensen.

Dit is een herschrijving door R. Allen Gilliam van Jared Andersons oplossing van een andere versie van deze puzzel op deze site. Misschien is het gewoon hoe mijn geest werkt, maar dit lijkt veel gemakkelijker te begrijpen.

Nummer de mannen (of munten of ballen) 1 tot en met 12.
Weeg 1 2 3 4 tegen 5 6 7 8.
Als ze hetzelfde zijn, dan is de andere man 9 10 11 of 12. Ga verder naar I. Als ze anders zijn, noteer dan of 1 2 3 4 zwaarder of lichter is.

Weeg 1 2 3 5 tegen 4 10 11 12. (Merk op dat we weten dat 10 11 en 12 niet de verschillende zijn.) Er zijn drie mogelijkheden:
(1) Als 1235 dezelfde verschil (zwaarder of lichter) als 1234, dan moet de andere 1 2 of 3 zijn en hetzelfde verschil (zwaarder of lichter) hebben als 1234. Ga verder naar II hieronder.
(2) Als 1235 saldi 4 10 11 12 , dan moet de andere 6 7 of 8 zijn (degene die we hebben verwijderd) en hetzelfde verschil (zwaarder of lichter) hebben als 5678. Ga verder naar II hieronder.
(3) Als 1235 nu het tegenovergestelde verschil heeft (zwaarder of lichter) als 1234, dan is 4 of 5 de andere. Ofwel 4 heeft hetzelfde verschil als 1234 (zwaarder of lichter) of 5 heeft hetzelfde verschil als 5678 (zwaarder of lichter). Dus we wegen gewoon 4 tegen 1. Als ze hetzelfde zijn, dan is 5 de andere. Als ze anders zijn, dan is 4 de andere.

I. Bepalen welke van 9 10 11 12 anders is met twee wegingen als je niet weet of de andere zwaarder of lichter is:

Weeg 9 tegen 10. Twee mogelijkheden:
(1) Als ze “anders zijn, dan moet het 9 of 10 zijn. Weeg 9 en 11. Als ze” hetzelfde zijn, is 10 de andere. Als ze anders zijn, is het 9.
(2) Als ze “hetzelfde zijn, dan moet het 11 of 12 zijn. Weeg 9 en 11. Als ze” hetzelfde zijn, is 12 het andere. Als ze “anders zijn, is het 11.
(Als het” Op 12-jarige leeftijd weten we niet of hij zwaarder of lichter was, aangezien we hem nooit hebben gewogen. We hebben hem gevonden door eliminatie. Hij moet de andere zijn omdat alle anderen hetzelfde wegen.)

II. Uitzoeken welke van de drie mannen anders is met één weging als je weet of de andere zwaarder of lichter is:

Hernoem de drie mannen 1 2 3. Weeg 1 tegen 2. Twee mogelijkheden:
(1) Als ze hetzelfde zijn, is 3 de verschillende.
(2) Als ze anders zijn, wat dan ook het juiste verschil heeft rence (zwaarder of lichter) is de andere.

Dit lijkt de eenvoudigste oplossing voor 12 items als je alleen het item met een ander gewicht moet vinden, zoals sommige versies van de puzzel vragen. De oplossing van Joe Z kan het item en het verschil met 12 items vinden en het andere item met 13 items. Het vinden van het andere item en het verschil met 14 items lijkt wiskundig onmogelijk met 3 wegingen omdat er slechts 27 mogelijke uitkomsten zijn met 3 wegingen en er zijn 28 mogelijkheden met 14 items. Maar zou een variant van Joe Z s oplossing het andere item uit 13 kunnen vinden, en of het zwaarder of lichter is? Zo ja, zoek dan het andere, maar niet het verschil met 14 items mogelijk zijn. Het vinden van de andere, maar niet het verschil uit 15, zou onmogelijk zijn omdat u slechts één item uit de wegingen kunt laten terwijl u nog steeds de andere kunt identificeren, en als u het item weegt, zult u weten of het lichter of zwaarder is, waarvan we weten dat het wiskundig onmogelijk is met 14 items.

Deze oplossing is vergelijkbaar met degene die door R Gilliam wordt geleverd, maar verschilt in de tweede stap Divi Verdeel de ballen in 3 groepen van elk 4 ballen. Laten we ze g1 noemen, g2 en g3, kies twee willekeurige groepen en weeg ze tegen elkaar af. Een van de twee scenarios is waar. De pannen zijn in balans: de 8 ballen die je zojuist hebt gewogen hebben allemaal het juiste gewicht. De pannen zijn uit balans: de 4 ballen die je niet hebt gewogen, hebben allemaal het juiste gewicht.

Hoe dan ook, aan het einde van de eerste weging heb je minstens 4 ballen met het juiste gewicht.

Voor de tweede weging één kant van de pan moet 3 ballen van het juiste gewicht hebben. Als de pannen uit balans waren na de eerste weging, plaats dan 3 ballen van een van de ongebalanceerde pannen in de andere pan. Als de pannen in evenwicht waren na de eerste weging, plaats dan 3 van de 4 ballen die bij de eerste weging zaten in de andere pan.

Als de pannen na deze weging uit balans zijn, weet je of de excentrieke bal zwaarder of lichter is, aangezien een van de pannen ballen met het juiste gewicht bevat. Als de pannen in balans zijn, is de 4e bal die is weggelaten de excentrieke bal en kun je zien of hij zwaarder of lichter is. ghter door het te wegen tegen een bal met het juiste gewicht.

Als de pannen uit balans zijn, weet je of de excentrieke bal zwaarder of lichter is. Neem 2 van de 3 ballen uit de pan (die niet de juiste gewichtsballen bevatten) en weeg ze tegen elkaar af. Je weet al of de excentriekeling zwaarder of lichter is. Als de pannen uit balans zijn, kies dan de pan die overeenkomt met de gewichtsrichting van de excentrieke bal. als de pannen in balans zijn, is de 3e bal de excentrieke bal.

Je kunt het ook oplossen met 4 groepen van 3 ballen . Weeg 3 tegen 3 en als het in evenwicht is, kun je die 6 ballen opzij houden als bekend-gelijk. Als ze niet in evenwicht zijn, weet je dat de vreemde bal in die groep van 6 zit. Weeg vervolgens 3 van de bekende gelijken tegen een van de 2 groepen van 3 onbekenden. Als het in evenwicht is, zit de oneven in de finale groep van 3. Als het niet in balans is, weet je dat de oneven nog steeds op de weegschaal staat. Gebruik ten slotte de laatste groep van 3 ballen die onbekend en ongelijk is, plaats er een aan elk uiteinde en houd de derde opzij. Als de weegschaal in evenwicht is, weet je dat de eenzame bal die je opzij hebt gehouden een vreemde bal is. Als de weegschaal niet in balans is, weet je dat de oneven bal op de schaal staat. Om de oneven bal te bepalen en of deze zwaarder of lichter is, moet je hebben opgemerkt of de onbekende groep zwaarder of lichter was dan de bekende gelijke groepen. Als ze zwaarder waren, dan is de eenzame bal zwaarder.

Opmerkingen

• ” Om de odd ball en of deze ‘ s zwaarder of lichter is, u moet hebben opgemerkt of de onbekende groep zwaarder of lichter was dan de bekende gelijke groepen. ” Als alle drie de groepen die u woog in de eerste twee wegingen gelijk waren, dan heeft u ‘ deze informatie niet.

(1) Plaats ballen 6 en 6 op schaal. Verwijder een van elke kant totdat de weegschaal in evenwicht is.

(2) Neem de laatste twee verwijderde (of resterende twee als de weegschaal nooit in evenwicht is) en plaats ze aan de ene kant (kant A) en twee gelijk verzwaarde ballen aan de andere (kant B). Als zijde A lager is, is de excentrieke bal zwaarder, als zijde B lager is, is de excentriek lichter. Verwijder een van elke kant. Als de weegschaal in evenwicht is, is de bal die van kant A is verwijderd de excentrieke bal, zo niet de bal die op kant A overblijft.

Opmerkingen

• Dat vereist up tot zeven wegingen. Het probleem vraagt je om het in drieën te doen.
• @nosun – Welkom bij puzzling.se. Om u te laten weten: onjuiste antwoorden worden soms naar beneden gestemd om ze te helpen onderscheiden van goede antwoorden. Dit is niet bedoeld om u te ontmoedigen goede antwoorden te geven op andere vragen.