Ik was net bezig met een speciale vraag, maar ik negeerde het effect van temperatuur erop en nu wordt het erg belangrijk voor me.
Wat is de relatie tussen druk en temperatuur?
Stel dat we een ballon of zoiets hebben dat we kunnen vullen met lucht {luchtdruk is 1 a.t.m}, als we de temperatuur verhogen, wat gebeurt er dan met de druk? Is er een formule om het te meten?
Houd bij het beantwoorden van die vraag rekening met de elasticiteit van de ballon.
Opmerkingen
- Heb je gehoord van de ideale gaswet ?
- Merk ook op dat de druk in deze relaties absolute druk is, niet manometer. Als de absolute druk in een ballon bij u thuis bijvoorbeeld 1 atm is, is de ballon niet opgeblazen. Als de manometerdruk 1 atm is, is het absoluut 2 atm.
- natuurlijk heb ik het gehoord, maar is niet ‘ t anders voor rubbers & elastieken ????
- Ik heb ‘ dit niet formeel afgeleid (en dus goed controleren), daarom heb ik schrijf dit eerder als commentaar dan als antwoord. Young-Laplace geeft $ p = 2 \ gamma / r $ (aangenomen dat de ballon krap is) en de ideale wet $ pV = NkT $. Als we $ \ gamma \ propaan A $ nemen, en de vergelijkingen combineren, hebben we $ p \ propto T ^ {1/4} $.
- Ik kon ‘ t begrijp je, kun je me de echte formule vertellen ???
Answer
Een bekend resultaat uit statistische mechanica is de ideale gaswet,
\ begin {equation} PV = nRT \ end {equation}
die in verschillende vormen voorkomt. Hier geeft $ n $ de hoeveelheid gas aan, $ R $ is een constante, $ T $ is de temperatuur, $ V $ het volume en $ P $ de druk.
Als u de temperatuur verhoogt, ofwel het volume, de druk of beide moeten proportioneel toenemen. Als de ballon niet kan uitzetten, kan het volume niet toenemen; dus de druk zal toenemen (met $ \ frac {nR} {V} $ per graad). Als er een zekere mate van elasticiteit is, kan het volume enigszins toenemen; echter niet volgens de ideale gaswet. Als astronoom heb ik niet veel met elasticiteiten gewerkt, dus een toegepaste fysicus kan je waarschijnlijk verder helpen.
Antwoord
An ideaal gas is een theoretisch gas dat is samengesteld uit vele willekeurig bewegende puntdeeltjes die geen interactie hebben, behalve wanneer ze elastisch botsen. Het hangt allemaal af van uw geval. Ik bedoel, als de druk en temperatuur laag zijn, kun je de Ideale Gaswet gebruiken om de relatie tussen druk en temperatuur te berekenen.
waar:
de druk van het gas
is het volume van het gas
is de hoeveelheid stof van gas (ook bekend als het aantal mol)
is het ideale of universele gas constante, gelijk aan het product van de constante van Boltzmann en de constante van Avogadro.
is de temperatuur van het gas
En we weet:
waar:
is massa (gram)
is molaire massa (gram per mol)
dus,
Je moet het geval waarmee je te maken hebt controleren en dan besluiten om dit wel of niet te gebruiken. maar iets heel belangrijks is dat de ideale gaswet niet “antwoordt voor elastische gevallen.
Antwoord
Zorg ervoor dat u T gebruikt in Kelvins, en zorg ervoor dat de andere eenheden compatibel zijn met elkaar.
Je moet ook “drukhoogte” en “temperatuurhoogte” en “Lapse Rate” opzoeken om te zien of deze van toepassing zijn op jouw probleem.
Naarmate je hoogte toeneemt, nemen de atmosferische druk en temperatuur af, dus de ballon wordt groter in vergelijking met lagere hoogten.
Antwoord
Snelle afleiding
De Young-Laplace-wet stelt dat $$ p-p_0 = \ frac {2 \ gamma} {R} $$ terwijl de toestandsvergelijking van het ideale gas als $$ p = \ frac {Nk_BT} {V} $$ $ R $ oplossen en aannemen dat we te maken hebben met een bolvormige ballon ($ V = \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $, $ A = 4 \ pi R ^ 2 $), en dat de elasticiteit wordt beschreven door een Hookean-kracht (met evenwicht bij nulgrootte), $ \ gamma = \ alpha A $, $$ \ left (\ frac {Nk_BT} {\ frac {4} {3 } \ pi p} \ right) ^ {1/3} = R = \ frac {p-p_0} {8 \ pi \ alpha} $$
Om de algebra eenvoudiger te maken, neem ik aan dat $ p_0 = 0 $, zodat we $ p \ propto T ^ {1/4} $ hebben.
Iets meer rigoureuze afleiding
Voor de eenvoud ga ik ervan uit dat de druk buiten is nul. Het toevoegen van niet-nuldruk is echter triviaal, maar maakt de vergelijkingen een beetje lelijker.
Stel dat we een bol hebben gevuld met $ N $ moleculen van ideaal gas, zodat de partitiefunctie kan worden geschreven als $$ \ mathcal {Z} = \ iint \ mathrm {d} ^ {3N} p \ \ mathrm {d} ^ {3N} r \ \ e ^ {- \ beta (\ mathcal {H} + \ gamma A)} $$
We blijven dus over met $$ \ mathcal {Z} = CV ^ N e ^ {- \ beta \ gamma A} $$
Nu, het minimaliseren van de vrije energie met betrekking tot $ R $, $$ N \ frac {A} {V } = \ beta \ Partial_R (\ gamma A) $$
Als we het rubber als Hookean nemen, $ \ gamma = \ alpha A $, hebben we eindelijk de grootte van de ballon: $$ R = \ left (\ frac {3N} {64 \ pi ^ 2 \ alpha \ beta} \ right) ^ {1/4} $$
Nu is het gemakkelijk om de druk te berekenen, $$ p = – \ left (\ frac {\ partiële \ mathcal {F}} {\ partiële V} \ right) _A = \ frac {N \ frac {A} {V}} {\ beta A} = \ frac {N} {\ beta V} $$ Geen verrassing hier; dit is slechts de toestandsvergelijking van het ideale gas. Als we de grootte ($ V \ leftarrow \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $) aansluiten, hebben we $ p \ propto \ beta ^ {- 1/4} \ propto T ^ {1/4} $ .
Ik heb ook een eenvoudige Monte Carlo-simulatie geschreven (die gemakkelijk zou kunnen worden uitgebreid tot meer algemene gevallen waarin het gas bijvoorbeeld niet ideaal is), en mijn numerieke resultaten komen overeen met wat ik hierboven heb afgeleid.
Antwoord
Temperatuur en druk zijn recht evenredig met elkaar. Dit betekent dat naarmate de temperatuur afneemt, de druk ook afneemt, en naarmate de temperatuur toeneemt, de druk toeneemt. Een manier om hier over na te denken is dat als je de snelheid van de moleculen verhoogt – door hun temperatuur te verhogen – de kracht van de moleculen die hun houder raken, toeneemt en dit verhoogt de druk. Deze relatie wordt de wet van Gay-Lussac genoemd en maakt deel uit van de ideale gaswet.