Verwachte waarde van gammadistributie

Ervan uitgaande dat het om een willekeurige variabele van de gammadistributie gaat met de vorm $ \ alpha > 0 $ en beoordeel $ \ beta > 0 $ parameters, dat wil zeggen $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, kunt u $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ op de volgende manier vinden:

Voor elke willekeurige variabele X met continue distributie (zoals Gamma) waarvoor $ f $ de kansdichtheidsfunctie aangeeft (in jouw voorbeeld $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) en voor elke functie $ g $ van deze variabele (in jouw geval $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), het houdt in: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

In uw voorbeeld is het erg vereenvoudigd (let op $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ De breuk is niet afhankelijk van $ x $ , dus het kan buiten een integraal worden geplaatst.

Trouwens, voor discrete distributie lijkt het erg op: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limieten_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {waarbij} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {staat voor ondersteuning voor X (reeks waarden die het kan hebben)} $$

---

Ik zal je niet langer in spanning houden. Onthoud allereerst dat $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Laat $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Het combineren van deze twee resultaten in een duidelijke observatie: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Achtereenvolgens: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Als u dit twee keer gebruikt, krijgt u het resultaat :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ Uiteindelijk (aangezien $ f _ {\ alpha-2} (x) $ ook pdf is, die integraal gelijk is aan $ 1 $): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limieten_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Deze oplossing hierboven is voor dit specifieke geval, maar zoals whuber heeft opgemerkt , het meer algemene geval voor elke echte en positieve $ p \ in \ mathbb {R}, ~ p > 0 $ het bevat: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Opmerkingen

• @TJ Phu Laat ons weten wat je echt een probleem hebt, misschien met het berekenen van deze integraal? Laat het ons maar weten. Probeer echter gung en Silverfish opmerkingen te volgen en de algehele lay-out van de vraag te verbeteren.
• @TJ Phu Misschien mijn allereerste opmerking over integratie was een beetje misleidend. Laat me weten of je mijn oplossing volledig begrijpt (simpelweg door mijn of whuber antwoord te accepteren / aanvinken).

Ik zou het op een luie manier aanpakken: door te beginnen met een definitie en goed te kijken naar wat er volgt, om kijk of iemand me het antwoord al heeft laten zien. In wat volgt zijn helemaal geen berekeningen nodig, en zijn alleen de allereenvoudigste regels (van exponenten en integralen) nodig om de algebra te volgen.

---

Laten we beginnen met de Gamma-verdeling.Kies een maateenheid van $ X $ waarin $ \ beta = 1 $ , zodat we kunnen eerlijk gezegd heeft $ X $ een $ \ Gamma (\ alpha) $ distributie. Dit betekent dat de dichtheid alleen positief is voor positieve waarden, waarbij het kansdichtheidselement wordt gegeven door

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Als je nieuwsgierig bent, de uitdrukking $ dx / x $ wordt uitgelegd op https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Als het je niet bevalt, vervang dan $ x ^ \ alpha dx / x $ door $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Bedenk dat de normaliserende constante er is om de integraal van $ f_ \ alpha (x) dx te maken $ eenheid, waaruit we kunnen afleiden dat

$$ \ begin {align} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alpha )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {uitgelijnd} \ tag {1} $$

Het maakt niet uit welk getal $ \ Gamma (\ alpha) $ eigenlijk. Het is voldoende om te zien dat het goed gedefinieerd en eindig is verstrekt $ \ alpha \ gt 0 $ en anderszins afwijkt.

Laten we nu kijken naar de regels voor verwachtingen. De ” wet van de onbewuste statisticus ” zegt de verwachting van elke functie van $ X $ , zoals $ X ^ p $ voor wat vermogen $ p $ (wat gewoonlijk positief maar kan negatief en zelfs complex zijn), wordt verkregen door die functie van $ x $ te integreren tegen de dichtheid:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

---

Het is tijd om te staren. Als we de integraal negeren, is de integrand een uitdrukking die eenvoudig genoeg is. Laten we het herschrijven met behulp van de regels van de algebra en tijdens het proces die constante waarde van $ 1 / \ verplaatsen Gamma (\ alpha) $ uit de integraal:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Dat zou er best bekend uit moeten zien: it ” is net als een andere Gamma-verdelingsdichtheidsfunctie, maar met de kracht $ p + \ alpha $ in plaats van $ \ alpha $ . Vergelijking $ (1) $ vertelt ons onmiddellijk , zonder verder nadenken of rekenen, dat

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Door dit aan de rechterkant van $ (2) $ opbrengsten

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Het lijkt erop dat we beter (het echte deel van) $ p + \ alpha \ gt 0 $ om dit te laten convergeren, zoals eerder opgemerkt.

---

Als dubbele controle kunnen we onze formule gebruiken om de eerste momenten te berekenen en ze te vergelijken met bijvoorbeeld wat Wikipedia zegt . Voor het gemiddelde krijgen we

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

en voor het tweede (ruwe) moment,

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

De variantie is dus $$ E \ left (X ^ 2 \ right) – E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1) – \ alpha ^ 2 = \ alpha. $$

Deze resultaten komen perfect overeen met de autoriteit. Er zijn geen convergentieproblemen omdat sinds $ \ alpha \ gt 0 $ beide $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ en $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

---

U kunt nu veilig $ p = -2 $ en trek uw conclusies over de oorspronkelijke vraag. Vergeet niet de voorwaarden te controleren waaronder het antwoord bestaat.En vergeet niet de eenheden van $ X $ terug te veranderen naar de oorspronkelijke eenheden: dat vermenigvuldigt uw antwoord met $ \ beta ^ p $ (of $ \ beta ^ {- p} $ , afhankelijk van of u denkt dat $ \ beta $ is een schaal of een tarief ).