Verwarring over de berekening van de fundamentele periode?

De trigonometrische functies zijn in wezen exponentieel. Een verdubbeling van het argument komt dus overeen met een kwadratuur van de functie (in zekere zin). In dit geval kan het worden gezien door de formule voor het optellen van hoeken toe te passen:

$$ \ begin {uitgelijnd} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {align} $$

Maken

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Het toepassen op uw vergelijking:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Hieruit blijkt vrij duidelijk dat de fundamentele periode 0,25 is, want dat maakt $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

Op verzoek:

$$ \ begin {align} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ left [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ right] \\ \ end {uitgelijnd} $$

Van daaruit zou je moeten kunnen achterhalen. Let op, de vierkante zaak had op dezelfde manier kunnen worden afgehandeld.

Ik gebruik deze techniek uitgebreid voor deze formules:

• Exacte bijna momentane frequentieformules Best at Peaks (deel 1)
• Exacte bijna momentane frequentieformules Best at Peaks (deel 2)
• Exacte formules voor bijna onmiddellijke frequentie, het beste bij nuldoorgangen

Opmerkingen

• Vriendelijk update de 2e laatste regel van uw antwoord. Het is een fundamentele periode die 0,25 is, niet de fundamentele frequentie.
• @Man Klaar, goede vangst. Sorry daarvoor.
• Maak alstublieft een kleine update van uw antwoord om aan de behoefte van een bijgewerkte vraag te voldoen.
• @Man Stop met het verplaatsen van de doelpalen. n = 3,4,5 … kan worden berekend volgens het patroon. het eindresultaat is $ n4 \ pi T = 2 \ pi $ wat hetzelfde is als $ T = 1 / (2n) $

Dit lijkt meer een semantisch probleem.

Een signaal is periodiek met tijd $ T $ if

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Dus het signaal is periodiek in $ 0,5 $ aangezien voor $ T = 0,5 \ cdot n $ het argument van de cosinus een geheel veelvoud is van $ 2 \ pi $ . Omdat het periodiek is in $ 0,5 $ , is het ook periodiek in alle gehele veelvouden van $ 0,5 $ , dwz $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ etc.

In dit geval is het ook periodiek in $ 0,25 $ sinds $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0.5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Dus elk periodiek signaal heeft een oneindig aantal punten, de fundamentele is de kleinste en alle andere zijn gehele veelvouden van de fundamentele.

Als het iets helpt, genereer dan een eenheidsamplitude-sinusgolf bij 1 Hz en het kwadraat ervan:

Dan zien de sinusgolf en zijn vierkant er als volgt uit:

Je kunt de DC-component zien: de gemiddelde waarde van de kwadraat sinusgolf (gemiddeld over een geheel aantal perioden) is 1/2. En de frequentie van de rode sinusgolf wordt precies verdubbeld, dus de periode wordt gehalveerd. De DC en verdubbelde frequentie zijn de “slagfrequenties” die worden verkregen door de sinusgolf zelf te vermenigvuldigen.

Opmerkingen

• welke software gebruik je?
• Ik gebruik een commercieel simulatieprogramma genaamd Extend (oudere versie) en ExtendSim (nieuwere versies), van Imagine That, Inc. Deze zijn uitgebreid met vier bibliotheken met blokken die ik in 1990 begon te ontwikkelen. Mijn bibliotheken, genaamd LightStone, zijn gratis beschikbaar, met volledige becommentarieerde broncode. De URL voor mijn bibliotheken is umass.box.com/v/LightStone . Ik zal de bibliotheken tegen het einde van de week bijwerken zodat ze werken met de nieuwste ExtendSim 10.0.6-versie (zou gewoon een hercompilatie moeten zijn). Het bovenstaande model is gemaakt met Extend 6.0.8 op een oude Mac (ik hou van hoe het eruit ziet).
• Bedankt, ik ' zal het eens bekijken: )