Hier is een waarschijnlijkheidsvraag (waarschijnlijk heel eenvoudig). Ik “weet niet zeker hoe ik dit moet oplossen:
Gamma distributie $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ met $ \ mu = 20 $ en $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
De vorige vraag was het vinden van de waarden van $ \ alpha $ en $ \ beta $, wat ik deed met $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ en $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alpha $$ \ beta ^ 2 $.
Voor de gamma-distributie cdf zegt mijn leerboek $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ waar $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ is de standaard gamma-distributie cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Om dat te integreren, lijkt het erop dat ik de kettingregel moet gebruiken, maar onze professor heeft dat nooit gedaan Een voorbeeld. Is er een sneltoetsmethode? We hebben integratie nooit gebruikt in een echt voorbeeld, alleen om de pdf te definiëren en de cdf voor verschillende distributies op te halen.
Bewerken
De voorbeelden in mijn leerboek met standaard gammadistributieproblemen zeggen om de waarden voor $ F (x; \ alpha) $ op te zoeken in tabel A.4 van de bijlage. Toen ik keek, ontbrak tabel A.4, wat me echt teleurstelt. Zijn er standaard gammadistributietabellen online die ik kan afdrukken en inleveren bij de opdracht? Ik heb Wolfram Alpha gecontroleerd, maar ze hadden er geen. Casio heeft iets , maar ik “weet niet zeker wat de vorm- en schaalparameters zijn.
Bewerken 2
Vond die tabel. Voorin het boek kwam Tabel A.5 direct na A.3, daarom dacht ik dat A.4 ontbrak. Ik ging naar de bibliotheek om te zien of ze had hetzelfde leerboek, ze hadden het, en iemand had het gezonde verstand (wat ik niet had) om achter in het boek te kijken, en daar was het. Er is geen hulp meer nodig.
Opmerkingen
- U moet delen in delen herhaaldelijk beginnend met $ u = y ^ {\ alpha-1} $ en $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $, en $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Elke keer dat u dit doet, krijgt u een integraal met een kleinere exponent voor $ y $. Als $ \ alpha $ een geheel getal is, kunt u het proces afronden. Als $ \ alpha $ geen geheel getal is, zijn de zaken ingewikkelder.
- @dilip moet je je opmerking als antwoord posten.
- @DilipSarwate, er is geen gesloten formulieroplossing voor $ \ alpha $ non-integer, deze cdf is dan de onvolledige gammafunctie .
- En ik betwijfel sterk of integratie per deel het doel was van de oefening.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution [5%2C+4 ]%2C+24 ]
Antwoord
Zoals gesuggereerd door probabilityislogic, wordt mijn opmerking omgezet in een antwoord.
U moet delen in delen herhaaldelijk beginnen met $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $, en met $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Aangezien $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, elke keer dat u een integratie door onderdelen uitvoert, krijgt een integraal met een kleinere e xponent voor $ y $ aan de rechterkant. Als $ \ alpha $ een geheel getal is (zoals het in dit specifieke geval is), kun je het proces afronden met een $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Als $ \ alpha $ geen geheel getal is, zijn de zaken ingewikkelder omdat er geen algemene uitdrukking in gesloten vorm is voor $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ waarbij $ 0 < \ gamma < 1 $. Zoals opgemerkt door Xi “an, is de cdf de onvolledige gammafunctie en zijn de numerieke waarden in tabelvorm weergegeven.
Als integratie door delen niet is, is het punt van deze oefening zoals voorgesteld in de opmerking van Elvis, wil je misschien controleren of je professor wil dat je de waarde van een willekeurige gamma-variabele beschouwt als een aankomsttijd in een willekeurig Poisson-proces en het probleem vanuit dat oogpunt oplost.
Opmerkingen
- Is er een online tabel voor verschillende waarden van x en alpha? Mijn leerboek heeft alleen tabellen voor standaard normale curven en t-distributies. Ik heb geprobeerd er een te zoeken, maar vond in plaats daarvan te veel chi-kwadraat-tabellen.
- Ik weet niet ' van een online tabel, maar MATLAB zal de waarden voor je berekenen , en ik veronderstel dat R of Mathematica of Wolfram Alpha of Maple of … enz. hetzelfde zouden doen.