Vind h [n] met behulp van DTFT-eigenschappen

Terwijl dit is aan de hand van je huiswerk (en redelijk basic), ik zal bijten. Denk aan de definitie van de DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

En herinner de definitie van de frequentierespons $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

waarbij $ x [n ] $ is de invoer voor het systeem en $ y [n] $ is de uitvoer. Combineer deze twee vergelijkingen:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Voer nu de inverse DTFT uit aan beide zijden van de vergelijking. $ X (\ omega) $ en $ x [n] $ zijn per definitie een transformatiepaar; evenzo voor $ Y (\ omega) $ en $ y [n] $. Herinner voor de andere twee termen de tijdverschuivende eigenschap van de DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

die gemakkelijk kan worden getoond aan de hand van de definitie van de DFT. Met behulp van deze eigenschap transformeert de vergelijking inverse naar de differentievergelijking specificatie voor het systeem:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Dit is de definitie van een recursief filter, dat meestal IIR is; dat is het geval voor deze. Het vinden van de impulsrespons is eenvoudig; let $ x [n] = \ delta [n] $ en ontdek dat de systeemuitvoer is:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Het bovenstaande is uitgezet voor $ a = 0,99 $. Opgemerkt moet worden dat het systeem alleen stabiel is voor $ | a | \ le1 $.

Reacties

• I ' heb geprobeerd de impulsrespons te berekenen, maar raakte verstrikt. Kunt u laten zien hoe het ' in zijn werk gaat? bedankt.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Aangezien de impulsresponsie zich uitstrekt tot $ \ infty $, is dit een IIR-filter. JasonR stelt in zijn antwoord dat het filter alleen stabiel is als $ | a | < 1 $. In feite is het filter stabiel wanneer $ | a | \ leq 1 $, en is alleen instabiel voor $ | a | > 1 $. Wanneer $ | a | = 1 $, uit de formule van de geometrische reeks $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, krijgen we dat $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ is de overdrachtsfunctie van een (stabiel) FIR filter dat kan worden omschreven als een kortetermijnintegrator of middelaar op korte termijn (met $ 4 $ winst).

Reacties

• Leuke alternatieve afleiding. Ik heb mijn claim op stabiliteit ook in mijn antwoord opgelost.