Op de Answers.com pagina op Planck-lengte zie ik twee bijna dezelfde formules voor de Planck-lengte die alleen verschillen door het gebruik van h en hbar. De constanten zijn echter hetzelfde en mijn rekenmachine geeft het juiste antwoord voor hbar in plaats van h, dus het eerste gebruik van h was waarschijnlijk bedoeld om hbar te betekenen. Waarom gebruikt “het Oxford Dictionary (en mijn leerboek!) In plaats daarvan geen hbar?
UPDATE: de vergelijking (uit Oxford Dictionary?) Waar ik het over had, gebruikt h: 
en de vergelijking van Wikipedia die hbar gebruikt, maar dezelfde constante geeft voor de Planck-lengte: 
Reacties
- Planck Units zijn hoe dan ook dingen van de orde van grootte. Aangezien we geen ' hebben, hebben we geen theorie over kwantumzwaartekracht, we ' niet weten wat de exacte energieschaal is, dus onze kennis van dergelijke dingen is alleen nauwkeurig tot de schalen die we kunnen krijgen door dimensionale analyse. Vermenigvuldiging met zuivere getallen is n ' t gaat dit veranderen. Het gebruik van $ \ hbar $ in plaats van $ h $ is net als ' rechts ' hoe dan ook. Natuurlijk gebruikt bijna alle kwantummechanica $ \ hbar $, dus het zou meer ' gevoel hebben ' om de laatste te gebruiken.
Beantwoord
de pagina met antwoorden.com waarop u genoemd gebruikt de volgende formule: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Merk op dat er de $ 2 \ pi $ factor in de noemer zit – dus $ h / 2 \ pi $ kan worden vereenvoudigd als de gebruikelijke $ \ hbar $. Ze konden dit teken waarschijnlijk niet typen, of wilden terminologie en symbolen vermijden die alleen bekend zijn bij natuurkundigen. Maar er is geen numerieke fout op de pagina antwoorden.com. De bovenstaande definitie is in ieder geval gelijk aan $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$ wat de gebruikelijke “niet-gereduceerde” Planck-lengte is. Zie Wikipedia voor dezelfde formule:
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length
Numeriek is het $ 1,6 \ maal 10 ^ {- 35} $ meter. (Update: The Oxford Dictionary of English heeft een verkeerde formule – ze lieten $ 2 \ pi $ weg en vergaten ook de $ h $ over te steken. Maar ze bedoelen duidelijk dezelfde Planck-lengte.) Soms gebruiken mensen ook de gereduceerde Planck lengte die in zekere zin meer chique en “professioneel” is: $$ L_ {Planck, gereduceerd} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Merk op dat de $ 8 \ pi $ in de teller kan ook worden samengevoegd met de $ \ hbar $ om $ 4h $ terug te krijgen – dus de verkorte Planck-lengte is tweemaal (vanwege de vierkantswortel) de verkeerde Planck-lengte die je zou krijgen door $ h $ te gebruiken in plaats van $ \ hbar $. Maar wat is de echte reden waarom $ 8 \ pi $ daar werd toegevoegd?
De reden waarom $ 8 \ pi G $ verschijnt in plaats van $ G $ is omdat $ 8 \ pi G $ in zekere zin natuurlijker is een constante dan $ G $: deze discussie is analoog aan de behandeling van $ 4 \ pi $ in elektrodynamica. De constante $ 8 \ pi G $ is natuurlijk omdat de Einstein-Hilbert-actie $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ is de meest natuurlijke coëfficiënt zou $ 1/2 $ zijn in plaats van $ 1/16 \ pi G $, wat het natuurlijk maakt om $ 8 \ pi G = 1 $ in te stellen. De verminderde Planck-lengte is iets langer (ongeveer vijf keer) – minder extreem klein. Sterker nog, deeltjesfysici praten over de Planck-energie en de verminderde Planck-energie, die respectievelijk bijna $ 10 ^ {19} $ en $ 10 ^ {18} $ GeV bedragen.
De conventie voor de constante $ G $ werd oorspronkelijk gekozen door Newton die de zwaartekracht wilde schrijven als $ GMm / r ^ 2 $. Welnu, het zou natuurlijker zijn om de factor $ 4 \ pi $ of $ 8 \ pi $ in de noemer $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $ te hebben. U kunt zien dat $ \ Gamma $ gewoon $ \ Gamma = 8 \ pi G $ is, en het zou normaal zijn om $ \ Gamma $ gelijk te stellen aan één.
Ik hoop dat ik dat niet heb om uit te leggen waarom $ \ hbar $ natuurlijker is dan $ h $ voor volwassen natuurkundigen. De “leken” -versies van de formules zijn misschien eenvoudiger met $ h $ – maar ze hebben te maken met golflengte enz. Volwassen natuurkundigen weten dat de golflengte van de sinus evenredig is met $ 2 \ pi $. En de meest fundamentele vergelijkingen, zoals de Schrödinger-vergelijking of de commutatoren van $ [x, p] $, nemen een eenvoudiger vorm aan in termen van $ \ hbar $ dan $ h $, van natuurlijk.
Terug naar $ G $: mensen moesten de conventie kiezen om $ G $ in hogere dimensies te normaliseren. De gebruikelijke conventie, zoals hierboven impliciet gebruikt, is dat de Einstein-Hilbert-actie altijd de coëfficiënt $ 1/16 \ pi G $ heeft. Dat impliceert dat in $ D $ ruimtetijddimensies de kracht “niet $ GMm / r ^ {D-2} $ zal zijn, maar dat er wel $ D $ -afhankelijke numerieke coëfficiënten in zitten.
Beste wenst Lubos
Reacties
- Heel erg bedankt Lubos! Ik begrijp dat er een gereduceerde Planck moet zijn ' s constant op de een of andere manier (met hbar of met h boven 2 pi).Ik zie echter een discrepantie tussen de vergelijking van Wikipedia ' en de vergelijking van Oxford dict ', aangezien ik ' heeft de vraag bijgewerkt om weer te geven.
- Bedankt voor de update, verkeerde gebruikersnaam. De Oxford Dictionary heeft een fout – ze zijn vergeten de $ h $ te schrappen, hetzij vanwege onvoldoende lettertypen of vanwege incompetente schrijvers haha.
Antwoord
Dat moet te maken hebben met zetwerk. Natuurlijke (Plancks) eenheden hebben hbar = 1, niet h = 1.