Ik heb vaak gelezen dat metalen die Fermi-vloeistoffen zijn een soortelijke weerstand moeten hebben die varieert met de temperatuur, zoals $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Ik denk dat het $ T ^ 2 $ -deel de weerstand is als gevolg van elektron-elektron interacties en de constante term is te wijten aan verstrooiing van onzuiverheden.
Is er een eenvoudig argument om dit aan te tonen? Of misschien kun je me op een mooie referentie wijzen?
Ook lijkt het erop dat voor elektron-elektron interacties om een eindige weerstand te introduceren, enige umklapp verstrooiing nodig is (om Galileïsche en translationele invariantie te doorbreken). Is dit correct? Welke van deze symmetrieën (Galileïsch of translationeel) moet worden doorbroken?
Opmerkingen
- Ik ben op zoek naar een beter antwoord, maar mijn eenvoudige begrip is als volgt: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. En $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ is wat het Fermi vloeistofgedrag definieert.
- De $ T ^ 2 $ schaalvergroting heeft zowel Umklapp als elektronen-elektronverstrooiing nodig. In feite neemt een $ O (kT) $ omgeving van het Fermi-oppervlak voor quasi-deeltjes deel aan de interacties, wat de schaling impliceert, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: Dat ‘ is wat ik ook dacht, maar waar komt de umklapp binnen?
- Heeft iemand goede referenties over de berekening van het umklapp-effect in de Fermi-vloeistoftheorie?
- Er zijn enkele eenvoudige ” faseruimte ” argumenten om de $ T ^ 2 $ afhankelijkheid te motiveren; ben je ze tegengekomen, @jjj?
Antwoord
Hoe elektron-elektron interactie leidt tot een $ T ^ {2} $ afhankelijkheid kan worden verklaard door de beperkingen te begrijpen die aan elektronen-elektronenverstrooiing worden gesteld door behoud van momentum en het uitsluitingsprincipe.
Beschouw het fermi-oppervlak van een elektronengas in 3D. Het Fermi-oppervlak is een bol met straal $ k_ {f} $. Bij eindige temperaturen bezetten elektronen toestanden buiten het Fermi-oppervlak die worden bepaald door de Fermi Dirac-vergelijking, gekenmerkt door een schaal buiten de Fermi-bol met een straal die evenredig is met de temperatuur. Er zijn daarom lege toestanden binnen de Fermi-bol binnen een schaal met dezelfde straal.
Als we elektronen-elektron-interacties inschakelen, bij kleine interactiesterktes, kunnen we het beschouwen als verstrooiing van elektronen tussen deze toestanden in het bovenstaande niet-interacterende beeld. Elektronen, die Fermionen zijn, kunnen alleen staten bezetten die al niet bezet zijn, samen met een bevredigend behoud van momentum. We moeten dus twee elektronen kiezen, die beide op de schalen staan met een straal evenredig met T, aan weerszijden van het oppervlak met straal $ k_ {f} $, zodat men zich kan verspreiden in een lege toestand buiten de $ k_ {f} $ surface en de andere in een lege staat in de shell binnen de $ k_ {f} $ surface. De kans om twee van dergelijke elektronen op te pikken is dus evenredig met $ T ^ 2 $.
Aangezien de bijdrage aan resistiviteit evenredig is met de waarschijnlijkheid van deze verstrooiingsgebeurtenissen, leiden deze interacties tot een $ T ^ 2 $ afhankelijkheid in resistiviteit.
Er zijn meer rigoureuze argumenten, maar ik denk dat dit een intuïtief beeld geeft, geldig in de context van zwakke interacties en lage temperatuur.
Antwoord
Of misschien kun je me naar een leuke referentie verwijzen?
De details achter het volgende antwoord zijn te vinden in de volgende arXiv-paper (en referenties daarin) arXiv: 1109.3050v1 .
Is er een eenvoudig argument om dit te laten zien?
Het lijkt niet, maar ik kan het volgende zeggen. De geleidbaarheid als gevolg van elektronen-elektronenbotsingen wordt meestal gegeven door: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ waarbij $ \ sigma $ de elektrische geleidbaarheid is, $ n $ de elektronendichtheid is, $ e $ de fundamentele lading , $ m $ is de elektronenmassa , en $ \ tau_ {coll} $ is de gemiddelde botsingstijdschaal (of relaxatiesnelheid). Merk op dat de resistiviteit , $ \ eta $, slechts het omgekeerde is van de geleidbaarheid in de scalaire benadering.
Voor een Landau-Fermi-vloeistof kan worden aangetoond dat de gemiddelde relaxatiesnelheid voor elektronen op een Fermi-oppervlak: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ waar $ \ alpha $ de efficiëntie is van impulsoverdracht naar het ionenrooster als een dimensieloze hoeveelheid die voldoet aan $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ is de Boltzmann-constante , $ \ hbar $ is de Planck-constante , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ is de overgangswaarschijnlijkheid voor inelastische verstrooiing.
Citaat uit het bovengenoemde arXiv-artikel hierboven:
het feit dat een vaste stof geen volledige translatiesymmetrie heeft, heeft belangrijke gevolgen. Al in 1937 demonstreerde Baber een mechanisme voor eindige soortelijke weerstand in een tweebandenmodel waarin $ s $ elektronen worden verstrooid uit zwaardere $ d $ gaten door een gescreende Coulomb-interactie … Umklapp-processen met een enkele band maken impulsoverdracht naar het kristalcoördinatensysteem mogelijk …
waarbij Umklapp-processen verwijzen naar electron- phonon en / of phonon-phononverstrooiing in een rooster. De auteurs laten ook zien dat de term tussen punthaken kan worden geïntegreerd in het volgende: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ waarbij $ \ lambda _ {\ tau} $ een dimensieloze parameter is die de effectieve interactie beschrijft in polaron -polaronverstrooiing en $ \ epsilon_ {F} * $ is de Fermi-energie van de polarons. Na een beetje algebra kunnen we aantonen dat: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
De soortelijke weerstand is dus evenredig met $ \ eta \ propto T ^ {2} $.