Waarom is de verwachting hetzelfde als het rekenkundig gemiddelde?

Informeel bepaalt een kansverdeling de relatieve frequentie van uitkomsten van een willekeurige variabele – de verwachte waarde kan worden gezien als een gewogen gemiddelde van die uitkomsten (gewogen door de relatieve frequentie). Evenzo kan de verwachte waarde worden gezien als het rekenkundig gemiddelde van een reeks getallen die wordt gegenereerd in exacte verhouding tot de kans dat ze voorkomen (in het geval van een continue willekeurige variabele is dit niet precies waar, aangezien specifieke waarden hebben waarschijnlijkheid $ 0 $).

Het verband tussen de verwachte waarde en het rekenkundig gemiddelde is het duidelijkst met een discrete willekeurige variabele, waarbij de verwachte waarde is

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

waarbij $ S $ de voorbeeldruimte is. Stel dat u als voorbeeld een discrete willekeurige variabele $ X $ hebt zodat:

$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {met waarschijnlijkheid} 1/8 \\ 2 & \ mbox {met waarschijnlijkheid} 3/8 \\ 3 & \ mbox {met waarschijnlijkheid} 1/2 \ end {cases} $$

Dat wil zeggen, de kansmassa-functie is $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ en $ P (X = 3) = 1/2 $. formule hierboven, de verwachte waarde is

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2.375 $$

Beschouw nu getallen die zijn gegenereerd met frequenties die exact evenredig zijn met de waarschijnlijkheidsmassafunctie – bijvoorbeeld de reeks getallen $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – twee $ 1 $ s, zes $ 2 $ s en acht $ 3 $ s. Neem nu het rekenkundig gemiddelde van deze getallen:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$

en je kunt zien dat het exact gelijk is aan de verwachte waarde.

Reacties

• Zou dit niet ‘ beter geïllustreerd kunnen worden door de eenvoudigere set van {1,2,2,2,3,3,3,3} te gebruiken? De uitdrukking toont rekenkunde gemiddelde van die set is identiek aan de uitdrukking die de verwachtingswaarde van die variabele weergeeft (als u de gewogen producten omzet in eenvoudige sommen).
• Re: ” De uitdrukking die het rekenkundig gemiddelde van die set weergeeft, is identiek aan de uitdrukking die de verwachtingswaarde van die variabele weergeeft (als u de gewogen producten omzet in eenvoudige sommen) ” – Ja @Dancrumb, dat was de hele punt 🙂

De verwachting is de gemiddelde waarde of het gemiddelde van een willekeurige variabele, geen waarschijnlijkheid distributie. Als zodanig is het voor discretie De willekeurige variabelen het gewogen gemiddelde van de waarden die de willekeurige variabele aanneemt, waarbij de weging is volgens de relatieve frequentie van voorkomen van die individuele waarden. Voor een absoluut continue willekeurige variabele is het de integraal van waarden x vermenigvuldigd met de waarschijnlijkheidsdichtheid. Waargenomen gegevens kunnen worden gezien als de waarden van een verzameling onafhankelijke identiek verdeelde willekeurige variabelen. Het steekproefgemiddelde (of steekproefverwachting) wordt gedefinieerd als de verwachting van de gegevens met betrekking tot de empirische verdeling van de waargenomen gegevens. Dit maakt het simpelweg het rekenkundig gemiddelde van de gegevens.

Opmerkingen

• +1. Goede vangst re: ” De verwachting is de gemiddelde waarde of het gemiddelde van een willekeurige variabele, geen kansverdeling “. Ik heb ‘ dit subtiele misbruik van terminologie niet opgemerkt.

Laten we goed op de definities letten:

Gemiddelde wordt gedefinieerd als de som van een verzameling getallen gedeeld door het aantal getallen in de verzameling. De berekening zou zijn “voor i in 1 tot n, (som van x sub i) gedeeld door n. “

Verwachte waarde (EV) is de gemiddelde waarde op lange termijn van herhalingen van het experiment dat het vertegenwoordigt. De berekening zou zijn” voor i in 1 tot n, som van gebeurtenis x sub i maal zijn kans (en de som van alle p sub i moet = 1). “

In het geval van een eerlijke dobbelsteen is het gemakkelijk in te zien dat de gemiddelde en EV zijn hetzelfde. Gemiddelde – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3.5 en EV zou zijn:

prob xp * x

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

EV = som (p * x) = 3.50

Maar wat als de dobbelsteen niet “eerlijk” was. Een gemakkelijke manier om een oneerlijke dobbelsteen te maken, is door te oefenen Ah ole in de hoek op de kruising van de 4, 5 en 6 gezichten.Laten we verder zeggen dat de kans om een 4, 5 of 6 te gooien op onze nieuwe en verbeterde kromme dobbelsteen nu 0,2 is en de kans om een 1, 2 of 3 te gooien nu 0,33 is. Het is hetzelfde dobbelsteen met 6 gezichten, één cijfer op elk vlak en het gemiddelde voor deze dobbelsteen is nog steeds 3,5. Nadat we deze dobbelsteen vele malen hebben gegooid, is onze EV nu echter 3,8 omdat de kansen voor de gebeurtenissen niet langer hetzelfde zijn voor alle gebeurtenissen. / p>

prob xp * x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = som (p * x) = 3.80

Nogmaals, laten we wees voorzichtig en ga terug naar de definitie voordat u concludeert dat het een altijd “hetzelfde” zal zijn als het andere. Bekijk hoe een normale dobbelsteen is opgesteld en boor een gat in de andere 7 hoeken en kijk hoe de EVs veranderen – veel plezier.

Bob_T

Het enige verschil tussen “gemiddelde” en “verwachte waarde” is dat gemiddelde voornamelijk wordt gebruikt voor frequentieverdeling en verwachting wordt gebruikt voor kansverdeling. Bij frequentieverdeling bestaat de steekproefruimte uit variabelen en hun frequentie van voorkomen. Bij kansverdeling bestaat de steekproefruimte uit willekeurige variabelen en hun kansen. Nu weten we dat de totale waarschijnlijkheid van alle variabelen in de steekproefruimte = 1 moet zijn. Hierin ligt het fundamentele verschil. De noemer term voor verwachting is altijd = 1. (d.w.z. sommatie f (xi) = 1) Dergelijke beperkingen zijn echter niet van toepassing op de sommatie van de frequentie (wat in feite het totale aantal inzendingen is).