Waarom is de zwaartekracht van de aarde ' sterker aan de polen?

Het punt is dat als we de aarde benaderen met een afgeplatte ellipsoïde, het aardoppervlak een equipotentiaal oppervlak , $ ^ 1 $ zie bijv. dit Phys.SE-bericht.

Nu, omdat de polaire straal kleiner is dan de equatoriale straal, moet de dichtheid van equipotentiaaloppervlakken aan de polen groter zijn dan aan de evenaar.

Of equivalent, de veldsterkte $ ^ 2 $ $ g $ aan de polen moet groter zijn dan aan de evenaar.

–

$ ^ 1 $ Merk op dat het potentieel hier verwijst naar het gecombineerde effect van zwaartekracht- en middelpuntvliedende krachten. Als we een beetje water op een equipotentiaal oppervlak gieten, zou er geen voorkeursstroomrichting zijn.

$ ^ 2 $ Evenzo verwijst de veldsterkte, bekend als little $ g $ , naar de gecombineerd effect van zwaartekracht- en middelpuntvliedende krachten, zelfs als $ g $ vaak (terloops en enigszins misleidend) wordt aangeduid als de gravitatie constante op het aardoppervlak.

Opmerkingen

• Werkt het argument ” dat je dichter bij het massamiddelpunt bent “?
• Leuk. Hoewel het antwoord nooit de term ” middelpuntvliedende kracht gebruikt, ” dat ‘ impliciet is in het argument, omdat het equipotentiaal een equipotentiaal is in het roterende frame.
• @Floris – Het argument dat ” je dichter bij het massamiddelpunt bent ” kinda-sort werkt, waar kinda-sorta in dit geval ongeveer 3/2 betekent (in tegenstelling tot één). Ongeveer 2/3 van de afname op de evenaar is toe te schrijven aan het feit dat de evenaar 21 km verder van het middelpunt van de aarde verwijderd is. De andere 1/3 is direct te wijten aan de middelpuntvliedende kracht (en natuurlijk is die eerste 2/3 indirect aan de middelpuntvliedende kracht).
• @DavidHammen – Ik denk dat in mijn boeken ” zwaartekracht ” is slechts de aantrekkingskracht tussen twee enorme objecten; de kracht die een massa op het aardoppervlak ervaart, wordt zowel in afstand als in rotatie gemoduleerd, maar alleen de eerste is ” zwaartekracht ” in mijn boeken. Omdat OP verklaarde dat hij het rotatiegedeelte begreep, stelde ik echt voor om me te concentreren op de eenvoudigste manier om het tweede deel te formuleren.
• Ik denk dat Lubos lang geleden een antwoord schreef dat enigszins verklaart waarom de zwaartekracht als gevolg van de equatoriale bult is anders dan men naïef zou denken. Ik ‘ zal kijken of ik dat antwoord kan opgraven.

Op veel plaatsen wordt vermeld dat de zwaartekracht van de aarde om twee redenen sterker is aan de polen dan aan de evenaar:

1. De centrifugale kracht heft de zwaartekracht minimaal op, meer op de evenaar dan op de polen.
2. De polen staan dichter bij het midden vanwege de equatoriale uitstulping en hebben dus een sterker zwaartekrachtveld.

TL; DR-versie: er zijn drie redenen. In orde van grootte,

1. De polen zijn dichterbij naar het midden van de aarde vanwege de equatoriale uitstulping. Dit versterkt de zwaartekracht aan de polen en verzwakt deze op de evenaar.

2. De equatoriale uitstulping verandert hoe de aarde de zwaartekracht beïnvloedt. verzwakt de zwaartekracht aan de polen en versterkt deze aan de evenaar.

3. De aarde roteert, dus een aan de aarde gebonden waarnemer ziet een middelpuntvliedende kracht. het heeft geen effect op de polen en verzwakt de zwaartekracht op de evenaar.

Laten we eens kijken hoe de twee verklaringen in de vraag zich verhouden tot waarneming.De volgende tabel vergelijkt wat een sferisch zwaartekrachtmodel zonder centrifugale versnelling voorspelt voor zwaartekrachtversnelling op zeeniveau op de evenaar ($ g _ {\ text {eq}} $) en de noordpool ($ g _ {\ text {p}} $) versus de waarden die zijn berekend met behulp van de gevestigde Somigliana-zwaartekrachtformule $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0,03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0,09995 & 0,05186 & \ phantom {-} 0,04809 \ end {matrix} $

Dit eenvoudige model werkt in kwalitatieve zin. Het laat zien dat de zwaartekracht op de noordpool hoger is dan op de evenaar. Kwantitatief gezien is dit eenvoudige model niet erg goed. Het overschat aanzienlijk het verschil tussen de zwaartekracht op de noordpool en de evenaar, bijna met een factor twee.

Het probleem is dat dit eenvoudige model geen rekening houdt met de zwaartekrachtsinvloed van de equatoriale uitstulping. Een eenvoudige manier om aan die uitstulping te denken, is dat het positieve massa toevoegt aan de evenaar, maar negatieve massa aan de polen, voor een netto verandering in massa van nul. De negatieve massa aan de pool zal de zwaartekracht in de buurt van de pool verminderen, terwijl de positieve massa aan de evenaar de equatoriale gravitatie zal vergroten. Dat is precies wat de dokter heeft bevolen.

Wiskundig gezien creëert dat rondbewegen van massas een quadrupoolmoment in het zwaartekrachtveld van de aarde. Zonder in te gaan op de details van sferische harmonischen, voegt dit een term toe die gelijk is aan $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ aan de zwaartekracht, waarbij $ \ lambda $ de geocentrische breedtegraad is en $ J_2 $ de tweede dynamische vorm van de aarde. Het toevoegen van deze quadrupoolterm aan de bovenstaande tabel levert het volgende op:

$ \ begin {matrix} \ text {Aantal} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0,01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0.03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & -0,04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Deze eenvoudige toevoeging van de quadrupool zorgt nu voor een erg mooie match.

De nummers die ik hierboven heb gebruikt:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, de zwaartekrachtparameter van de aarde min de atmosferische bijdrage.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, de equatoriale straal van de aarde (gemiddelde getijwaarde).

• $ 1 / f = 298.25231 $, de afvlakking van de aarde (gemiddelde waarde).

• $ \ omega = 7.292115855 \ maal 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, de rotatie van de aarde tarief.

• $ J_2 = 0.0010826359 $, de tweede dynamische vormfactor van de aarde.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitatie op zeeniveau op de evenaar.

• $ \ kappa = 0.00193185138639 $, wat het waargenomen verschil weergeeft tussen gravitatie op de evenaar en de polen.

• $ e ^ 2 = 0.00669437999013 $, het kwadraat van de excentriciteit van de figuur van de aarde.

Deze waarden zijn meestal afkomstig van Groten, “Fundamentele parameters en huidige (2004) beste schattingen van de parameters van algemeen belang voor astronomie, geodesie en geodynamica. ” Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , waarbij de standaard zwaartekrachtparameter is aangepast om de massa van de atmosfeer uit te sluiten. De atmosfeer van de aarde heeft een zwaartekrachteffect op de maan en op satellieten, maar niet zozeer op mensen die op het aardoppervlak staan.

Opmerkingen

• Re ” De polen zijn dichter bij het midden van de aarde vanwege naar de equatoriale uitstulping. Dit versterkt de zwaartekracht aan de polen en verzwakt deze aan de evenaar. ” : Dit zou niet waar zijn als de aarde een uniforme massaverdeling had .
• @PeterMortensen – Dat is onjuist. Zelfs als de aarde een uniforme dichtheid had, zou de zwaartekrachtversnelling aan de pool groter zijn dan die aan de evenaar met een factor van ongeveer $ 1 + \ frac 1 5 f $, waarbij $ f $ de afvlakkingsfactor is. Zie Verdeling van zwaartekracht op een niet-roterende afgeplatte sferoïde .
• Het ‘ is erg handig om dit allemaal op één plek te hebben; Ik heb me nooit echt de ernst van de situatie gerealiseerd totdat ik het allemaal tegelijk heb doorgenomen.

Hier “een eenvoudig argument dat” geen kennis vereist van mooie dingen zoals equipotentialen of roterende referentiekaders. Stel je voor dat we de aarde geleidelijk sneller en sneller zouden kunnen laten draaien. Uiteindelijk zou het uit elkaar vliegen. Op het moment dat het uit elkaar begon te vliegen, zou wat er gebeuren zou zijn dat de delen van de aarde op de evenaar een omloopsnelheid zouden hebben. Als je in een baan om de aarde bent, ervaar je schijnbare gewichtloosheid, net als de astronauten op het ruimtestation.

Dus op een punt op de evenaar is de schijnbare versnelling van de zwaartekracht $ g $ (dwz wat je meet in een laboratorium dat aan het aardoppervlak is bevestigd) daalt tot nul wanneer de aarde snel genoeg ronddraait. Door interpolatie verwachten we dat het effect van de daadwerkelijke spin zou moeten zijn dat $ g $ op de evenaar afneemt ten opzichte van de waarde die het zou hebben als de aarde niet zou draaien.

Merk op dat dit argument automatisch houdt rekening met de vervorming van de aarde weg van sfericiteit. De afgeplatte vorm is slechts een deel van de interpolatie tussen sfericiteit en uiteenvallen.

Het is anders aan de polen. Hoe snel je de aarde ook ronddraait, een deel van de aarde aan de noordpool zal nooit in een baan om de aarde draaien. De waarde van $ g $ zal veranderen als gevolg van de verandering in de vorm van de aarde, maar dat effect moet relatief zwak zijn, want het kan nooit leiden tot een breuk.

Het verschil in vrije valversnelling tussen polen en evenaar heeft twee factoren. Ik zal ze een voor een bespreken.

Aan de polen worden de gemeten zwaartekrachtversnelling is 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Op de evenaar is de gemeten zwaartekrachtversnelling 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Gegeven de equatoriale straal van de aarde en de rotatiesnelheid van de aarde kun je berekenen hoeveel centripetale versnelling nodig is om samen met de aarde te roteren wanneer u bevindt zich op de evenaar. Dat komt uit op 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Deze vereiste centripetale versnelling (op de evenaar) gaat ten koste van de werkelijke zwaartekrachtversnelling op de evenaar.

We kunnen dus reconstrueren wat de equatoriale zwaartekrachtversnelling zou zijn op een hemellichaam met dezelfde grootte en dichtheid en equatoriale uitstulping als de aarde, maar niet roterend.

Ware zwaartekrachtversnelling: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Er is dus nog een verschil van 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Dat resterende verschil is te wijten aan de afvlakking van de aarde: op de evenaar ben je verder weg van het zwaartepunt van de aarde dan op de polen.

Het punt is of alle effecten in aanmerking zijn genomen. Wiskunde zou worden samengevat dat effect van meer massa onder je voeten nog steeds minder dan effect van afstand tot het zwaartepunt

Een andere mening is. Op de evenaar zijn er uitstulpingen bij jou in de buurt. Maar van alle andere kanten van de aarde is de bobbel ver van jou verwijderd. Vergelijk met de pool dat alle uitstulpingen even ver van u verwijderd zijn, dat verklaart het verschil