Dit is een lage nauwkeurigheid, maar toch eenvoudig antwoord

Hiermee kunt u alleen de radiale uitlijningsconfiguratie van de planeten berekenen.

Als u een benadering wilt, laten we zeggen dat u de positie van de planeten benadert als wijzers in een klok, zou je de wiskunde zo kunnen berekenen.

Veronderstel dat $ \ theta_i $ de beginhoek is voor planeet $ i $ op tijd $ t_0 $ – gemeten vanaf een willekeurige maar vaste positie, en $ l_i $ is de lengte van het jaar – in dagen – voor planeet $ i $.

Daarna gaat het verder met het oplossen van dit stelsel van vergelijkingen:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Vanaf hier zou je dan gewoon de Chinese reststelling toepassen.

Het vinden van de minimum x geeft je de hoek die de planeet die op $ t_0 $ hoek $ \ theta_i = 0 $ had, zou hebben afgelegd totdat een alignment configuratie werd bereikt. EEN Als je optelt, kies je de aarde als de genoemde planeet, deel je die hoek door een volledige omwenteling ($ 360 ^ {o} $) en krijg je het aantal jaren dat die configuratie bereikt moet worden – uit de $ t_0 $ configuratie.

De verschillende $ \ theta_i $ in graden voor alle planeten op 1 januari 2014 – je kunt dit gebruiken als je $ t_0 $:

\ begin {align} Mercurius & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Aarde & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

Bron

De verschillende $ l_i $ in dagen voor alle planeten:

\ begin {align} Mercurius & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Aarde & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

Eindelijk onder een benadering van gehele getallen en met deze online oplosser voor het stelsel vergelijkingen het antwoord is $ x = 4,0384877779832565 \ maal 10 ^ {26} $ wat gedeeld door $ 360 ^ {o} $ je ongeveer $$ 1.1218 \ maal 10 ^ {24} \ quad \ text {geeft years} $$

Bewerken 1

Ik heb net deze site gevonden waarmee je misschien wilt spelen. Het is een interactieve flash-applicatie met de nauwkeurige positie van de planeten.

Ik weet ook dat alle informatie kan worden verkregen van deze NASA-pagina en dat is zo nauwkeurig als je kunt, maar het is nu gewoon onbegrijpelijk voor mij. Ik zal proberen het later te herzien als ik tijd heb.

Ook dit boek door Jean Meeus genaamd Astronomical Algorithms behandelt alle fundamentele euqaties en formules – het heeft echter niets te maken met programmeeralgoritmen.

Bewerken 2

Zien dat je een programmeur bent, het zou de moeite waard kunnen zijn om de NASA-site te bekijken die ik hierboven noemde, de gegevens van alle planeten zijn zelfs toegankelijk via $ \ tt {telnet} $.Of deze Sourceforge-site waar ze implementaties hebben voor veel van de vergelijkingen die in het boek worden beschreven, ook hierboven genoemd.

Opmerkingen

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ werkt hetzelfde in commentaren. Ik denk dat uw aanpak de beste is die u kunt doen zonder buitensporige simulaties. Het enige dat u hoeft te doen, is de feitelijke gegevens invoeren; dat was het deel, dat me deed aarzelen om een antwoord te geven.
• @Gerald oh ik dacht dat de opmaak van vergelijkingen niet ‘ werkte in commentaren. Ja, ik ‘ m mis de gegevens, met name $ \ theta_i $. Ik zal de verschillende $ l_i $ informatie toevoegen.
• Hoe kon die zonnestelselscoop de nauwkeurige relatieve posities van de planeten laten zien als hun afstand tot de zon niet correct is? Het kan de positie van elke planeten ten opzichte van de zon correct afzonderlijk weergeven en dus goed zijn voor deze vraag, maar niet voor het vinden van voegwoorden.
• @LocalFluff Dat is waar. Dit geeft alleen antwoord op radiale uitlijningsconfiguraties. Bewerkt.
• Er zijn verschillende blunders in dit antwoord. Als u eerst alle cijfers in uw tabellen gebruikt (wat inhoudt dat u moet converteren naar centidgrees en centidays), krijg ik eigenlijk $ x \ ongeveer 1.698 \ times10 ^ {42} $ (van dezelfde online tool), wat neerkomt op $ 1.29 \ times10 ^ {33 } $ jr. Ik weet niet ‘ hoe je de lagere waarde hebt verkregen, maar ik vermoed sterk dat je enkele cijfers hebt weggelaten. Ten tweede toont dit aan dat bij het toevoegen van meer cijfers de oplossing naar oneindig neigt: het juiste antwoord is: radiale uitlijning komt nooit voor . Ten slotte is het gewoon verkeerd om aan te nemen dat de planeten ‘ banen deze eenvoudige beweging volgen.

Het juiste antwoord is “ nooit “, voor meerdere redenen. Eerste , zoals aangegeven in de opmerking van Florin, zijn de banen van de planeet niet co-planair en kunnen ze daarom onmogelijk uitlijnen , zelfs als elke planeet willekeurig in zijn baanvlak zou kunnen worden geplaatst. Tweede , zelfs pure radiale uitlijning vindt nooit plaats omdat de perioden van de planeet onvergelijkbaar zijn – hun verhoudingen zijn geen rationale getallen. Ten slotte evolueren de banen van de planeten over een tijdschaal van miljoenen jaren, voornamelijk als gevolg van hun onderlinge zwaartekracht. Trekken. Deze evolutie is (zwak) chaotisch en dus zeer lange tijd onvoorspelbaar.

Het verkeerde antwoord van harogaston benadert in wezen de omlooptijdperioden door de dichtstbijzijnde evenredige getallen, wat een zeer lange tijd oplevert (hoewel hij dat verkeerd had met een factor van slechts $ 10 ^ {16} $).

Een veel interessantere vraag (en misschien was de vraag waarin je eigenlijk geïnteresseerd was) ) is hoe vaak de 8 planeten bijna radiaal uitlijnen . Hier zou “ bijna ” eenvoudig kunnen betekenen “ tot binnen $ 10 ^ \ circ $ gezien vanaf de zon “. Bij zon gelegenheid zal de wederzijdse zwaartekracht van de planeten uitlijnen en dus resulteren in sterkere orbitale veranderingen dan gemiddeld.

Elke schatting van de gemeenschappelijke periode van meer dan twee planeten (dat wil zeggen, na hoeveel tijd zijn ze ongeveer weer uitgelijnd in heliocentrische lengtegraad?) hangt sterk af van hoeveel afwijking van perfecte uitlijning acceptabel is.

Als de periode van planeet $ i $ $ P_i $ is, en als de aanvaardbare afwijking in tijd $ b $ is (in dezelfde eenheden als $ P_i $), dan is de gecombineerde periode $ P $ van alle $ n $ planeten is ongeveer $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$ dus het verminderen van de aanvaardbare afwijking met een factor 10 betekent dat de gemeenschappelijke periode met een factor $ 10 wordt verhoogd ^ {n-1} $, wat voor 8 planeten een factor 10.000.000 is. Het heeft dus geen zin om een gemeenschappelijke periode te citeren als u niet ook specificeert hoeveel afwijking acceptabel was. Als de acceptabele afwijking afneemt tot 0 (om een perfecte uitlijning te bereiken), neemt de gemeenschappelijke periode toe tot oneindig. Dit komt overeen met verschillende commentatoren “beweren dat er geen gemeenschappelijke periode is omdat de perioden niet evenredig zijn.

Voor de planetenperioden vermeld door harogaston, $ \ prod_i P_i \ ongeveer 1,35 \ maal10 ^ 6 $ wanneer de $ P_i $ worden gemeten in Juliaanse jaren van 365,25 dagen elk, dus de gemeenschappelijke periode in jaren is ongeveer $$ P \ approx \ frac {1,35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ als $ b $ ook in jaren wordt gemeten. Als de perioden worden benaderd tot op de dichtstbijzijnde dag, dan $ b \ ongeveer 0,00274 $ jaar en $ P \ ongeveer 1,2 \ maal10 ^ {24} $ jaar. Als de perioden worden benaderd tot op de dichtstbijzijnde 0,01 dag, dan is $ b \ ongeveer 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ en $ P \ ongeveer 1,2 \ times10 ^ {38} $ jaar.

De afleiding van de bovenstaande formule is als volgt:

Benader de perioden van de planeten door veelvouden van een basiseenheid $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ waarbij $ p_i $ is een geheel getal. Dan is de gemeenschappelijke periode maximaal gelijk aan het product van alle $ p_i $. Dat product wordt nog steeds gemeten in eenheden van $ b $; we moeten vermenigvuldigen met $ b $ om terug te gaan naar de oorspronkelijke eenheden. , de gemeenschappelijke periode is ongeveer $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

De bovenstaande afleiding houdt geen rekening met het feit dat $ p_i $ gemeenschappelijke factoren zou kunnen hebben, zodat de uitlijning eerder plaatsvindt dan $ \ prod_i p_i $ suggereert. Of twee $ p_i $ al dan niet gemeenschappelijke factoren hebben, hangt echter sterk af van de gekozen basisperiode $ b $, dus het is in feite een willekeurige variabele en heeft geen invloed op de globale afhankelijkheid van $ P $ van $ b $.

Als je de aanvaardbare afwijking uitdrukt in termen van hoek in plaats van tijd , dan verwacht ik dat je antwoorden krijgt die afhangen van de grootte van de aanvaardbare afwijking, zoals sterk als voor de bovenstaande formule.

Zie http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html voor een grafiek van $ P $ als een functie van $ b $ voor alle planeten inclusief Pluto.

EDIT:

Hier is een schatting met een aanvaardbare afwijking in termen van hoek . We willen dat alle planeten zich binnen een bereik van lengtegraad bevinden met breedte $ δ $ gecentreerd op de lengtegraad van de eerste planeet; de lengtegraad van de eerste planeet is vrij. We gaan ervan uit dat alle planeten in dezelfde richting bewegen in coplanaire cirkelvormige banen rond de zon.

Omdat de planeten ” perioden zijn niet evenredig, alle combinaties van lengtes van de planeten komen met dezelfde waarschijnlijkheid voor. De kans $ q_i $ dat op een bepaald moment de lengtegraad van planeet $ i > 1 $ binnen het segment van breedte $ δ $ gecentreerd op de lengtegraad van planeet 1 ligt, is gelijk to $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

De kans $ q $ dat de planeten 2 tot en met $ n $ allemaal binnen hetzelfde lengtegraadsegment gecentreerd op planeet 1 zijn, is dan $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Om die kans te vertalen naar een gemiddelde periode, moeten we schatten hoeveel tijd alle planeten zijn uitgelijnd (tot binnen $ δ $) elke keer dat ze allemaal uitgelijnd zijn.

De eerste twee planeten die hun onderlinge uitlijning verliezen, zijn de snelste en langzaamste van de planeten. Als hun synodische periode $ P _ * $ is, zullen ze “een interval $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ uitgelijnd zijn en dan enige tijd uit de uitlijning voordat ze weer in uitlijning komen Dus elke uitlijning van alle planeten duurt ongeveer een interval van $ A $, en al die uitlijningen samen beslaan een fractie $ q $ van alle tijd. Als de gemiddelde periode waarna een andere uitlijning van alle planeten plaatsvindt $ P $ is, dan is we moeten $ qP = A $ hebben, dus $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Als er maar twee planeten zijn, dan is $ P = P _ * $ ongeacht $ δ $, zoals verwacht.

Als er veel planeten zijn, dan is de snelste planeet veel sneller dan de langzaamste, dus dan is $ P _ * $ bijna gelijk aan de omlooptijd van de snelste planeet.

Ook hier is de schatting voor de gemiddelde tijd tussen opeenvolgende uitlijningen zeer gevoelig voor de gekozen deviatielimiet (als er meer dan twee planeten bij betrokken zijn), dus het is zinloos om zon gecombineerde periode te citeren als je ook niet vermeldt welke afwijking was toegestaan.

Het is ook belangrijk om te onthouden dat (als er meer dan twee planeten zijn) deze (bijna-) uitlijningen van alle niet regelmatig voorkomen. intervallen.

Laten we nu wat getallen invoegen. Als je wilt dat alle 8 planeten binnen 1 lengtegraad worden uitgelijnd, dan is de gemiddelde tijd tussen twee van dergelijke uitlijningen ongeveer gelijk aan $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ banen van de snelste planeet. Voor het zonnestelsel is Mercurius de snelste planeet, met een periode van ongeveer 0,241 jaar, dus de gemiddelde tijd tussen twee uitlijningen van alle 8 planeten tot binnen een lengtegraad is ongeveer $ 5 × 10 ^ {14} $ jaar. / p>

Als u al tevreden bent met een uitlijning binnen 10 graden lengtegraad, dan is de gemiddelde periode tussen twee dergelijke uitlijningen ongeveer gelijk aan $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ banen van Mercurius, dat is ongeveer 500 miljoen jaar.

Wat is de beste afstemming die we de komende 1000 jaar kunnen verwachten? 1000 jaar zijn ongeveer 4150 banen van Mercurius, dus $ (360 ° / δ) ^ 6 \ ongeveer 4150 $, dus $ δ \ ongeveer 90 ° $. In een willekeurig gekozen interval van 1000 jaar is er gemiddeld één uitlijning van alle 8 planeten binnen een segment van 90 °.

Technisch gezien is de ware manier om de periode tussen de uitlijning van alle 8 planeten te vinden, het LCM van alle 8 van hun jaarlengtes te vinden.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Ik begrijp dat dit een ruwe schatting is, aangezien deze worden afgerond op het dichtstbijzijnde gehele getal, maar het geeft een goed idee van het aantal dagen dat het zou duren.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Dat is hoeveel jaar.

Reacties

• Dit lijkt dezelfde methode te zijn als beschreven in Geschikt voor ‘ s antwoord r .