Wat betekent de exponentiële term in de Fourier-transformatie?

Het is “een complexe exponentiële die voor altijd roteert op de complexe vlakke eenheidscirkel:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Je kunt Fourier-transformatie zien als een berekening correlatie tussen $ f (t) $ en een complexe exponentiële frequentie van elke frequentie, waarbij wordt vergeleken hoe vergelijkbaar ze zijn. Dergelijke complexe exponentiële waarden hebben de goede kwaliteit dat ze in de tijd kunnen zijn verschoven door ze te vermenigvuldigen met een complex aantal eenheidsmagni tude (een constant complex exponentieel). Als het resultaat van de Fourier-transformatie bij een bepaalde frequentie een niet-reëel complex getal is, kan de complexe exponentiële van die frequentie worden vermenigvuldigd met dat complexe getal om het in de tijd te verschuiven, zodat de correlatie met $ f (t) $ is gemaximaliseerd.

Als je niet graag aan denkbeeldige getallen, complexe getallen en functies, je kunt ook de complexe exponentiële in de FT beschouwen als een afkorting voor het samenvoegen van zowel een sinusgolf als een cosinusgolf (van dezelfde frequentie) tot een enkele functie waarvoor minder krijt op het bord nodig is om schrijven.

Of het nu de Fourier-transformatie of de Laplace-transformatie of de Z-transformatie is, enz. de exponentiële is de eigenfunctie van lineaire en tijdinvariante (LTI) operators . als een exponentiële functie van “tijd” in een LTI gaat, komt er een exponentiële net als deze (maar geschaald door de eigenwaarde) uit. wat de F.T. is het opsplitsen van een algemene functie in een som van deze exponentiële waarden. dat kan worden gezien door te kijken naar de inverse Fourier-transformatie.

De Fourier-transformatie:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

converteert een functie naar een integraal van harmonische functies. Je kunt deze zien als zonden en cosinussen omdat $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. De Fourier-transformatie als een continue vorm van de Fourier-serie die elk periodiek signaal omzet in een som van andere reële periodieke (harmonische) signalen:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

In de Fourier-transformatie kun je denken aan de coëfficiënten $ a_n $ en $ b_n $ gaat over de waarden van een continue functie. Om de vergelijking verder te verbeteren, is er een complexe versie van de reeks:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Reacties

• Probeer vast te houden aan één onafhankelijke variabele, ofwel $ t $ of $ x $, maar niet beide. Probeer bovendien een beter woord te vinden dan ‘ luister ‘, wat niet ‘ slaat hier nergens op.
• Je mist ook $ \ omega $ in de argumenten van de sinusoïden en de exponentiële functie: $ \ cos (n \ omega t) $, etc.
• @MattL. Heb ik $ \ omega $ nodig? De Fourier-transformatie heeft $ e ^ {i \ omega t} $, maar in de reeks neemt ” $ n $ ” de plaats in van $ \ omega $. Is dat niet ‘ klopt dat?
• Nee, $ \ omega = 2 \ pi / T $, waarbij $ T $ de periode is van $ f (t) $, dwz tenzij $ T = 2 \ pi $ u $ \ omega $ nodig heeft.
• Ok. Ik begrijp wat je bedoelt.

Beschouw het geval $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Dan

$$ F (\ omega) = \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Wanneer $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ oscilleren beide integranden rond nul, en de integralen zijn feitelijk nul.De enige niet-nul resultaten zijn

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

wat vaak wordt uitgedrukt als $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ big (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

In woorden, voor een willekeurige waarde van het argument $ \ omega $ , de $ e ^ {- i \ omega t} $ factor vertaalt de component van $ f (t) $ met die frequentie naar $ 0 $ , en alle andere componenten weg van nul. Vervolgens geeft de oneindige integraal een maat voor de sterkte van de component op $ 0 $ .

Merk op dat if $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , dan $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Dit betekent eigenlijk dat het teken van $ \ omega_0 $ ondubbelzinnig kan worden afgeleid uit de functie $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Het kan niet worden afgeleid uit $ \ cos (\ omega_0 t) $ , omdat het trigonometrisch identiek is aan $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . De Fourier-transformatie lost deze dubbelzinnigheid op door antwoorden te geven die niet gelijk zijn aan nul voor $ \ omega = \ omega_0 $ en $ \ omega = – \ omega_0 $ . Dat betekent niet dat $ \ cos (\ omega_0 t) $ beide frequenties bevat, omdat $ \ omega_0 $ kan maar één waarde hebben. De juiste interpretatie is dat $ e ^ {i \ omega_0 t} $ meer informatie bevat, niet minder dan $ \ cos (\ omega_0 t) $ . De formule $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ lijkt op meer informatie, maar is eigenlijk een annulering van informatie.

Reacties

• ” Dat betekent niet $ cos (\ omega_0 t) $ bevat beide frequenties, omdat $ \ omega_0 $ maar één waarde kan hebben. ” Nee. De cosinus is de som van twee complexe zuivere tonen met tegengestelde frequenties (twee verschillende waarden). Wat je ‘ niet kunt vertellen, is het teken van $ \ omega_0 $. Ofwel is een geldige interpretatie, vergelijkbaar met het kiezen van een vierkantswortel. Dus volgens afspraak worden frequenties voor zuivere tonen met echte waarde als positief beschouwd.
• @Cedron – Beschouw een functie $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ En $ \ \ dus \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ zou moeten we concluderen dat $ x ^ 2 $ iets meer is dan alleen een functie op de reële getallenlijn? Het is stiekem gemaakt van twee complexe functies? Zo ja, welke twee? … omdat ik net zo goed $ f (x) $ had kunnen definiëren als $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Dit is niet ‘ t over functie-ontleding. Je had net zo gemakkelijk $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ kunnen zeggen voor een even misleidend argument. De zin ” bevat beide frequenties ” is in de context van de FT (continu in dit geval). Als $ cos $ maar één frequentie had, zou er maar één niet-nulwaarde in het spectrum zijn.
• Ik denk niet dat het ‘ zinvol is om te beargumenteren hoe veel frequenties die een algemeen signaal bevat, zonder het eens te worden over wat ” redelijk ” decompositie in periodieke functies wordt bedoeld. Een frequentie is dan slechts een verkorte uitdrukking voor een periodieke component van een frequentie . Een redelijke decompositie zal bijvoorbeeld geen componenten bevatten die elkaar volledig opheffen, of componenten die identiek zijn.
• @Olli – Bedankt voor de redactionele hulp met mijn deltas. Ik dacht dat het ‘ er niet helemaal goed uitzag, maar ik ‘ realiseerde me niet waarom.