Tot dusver hebben we in onze lezing aanmaakoperatoren $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ gedefinieerd in de volgende manier, die we zeiden:
Iemand heeft je een antisymmetrische of symmetrische N-deeltjestoestand gegeven en nu zet $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ een ander deeltje in toestand n, zodat we eindigen omhoog met een symmetrische / antisymmetrische N + 1-deeltjestoestand. Deze interpretatie is mij op de een of andere manier duidelijk in de zin dat deze $ a ^ {\ dagger}, a $ operators de omslachtige slater-determinanten vermijden, enzovoort. Ondanks dat we nog steeds te maken hebben met goed gedefinieerde symmetrische / antisymmetrische producttoestanden die worden uitgebreid of verminderd met één toestand, die achter deze notatie verborgen zijn.
Nu hebben we ook veldoperatoren in QM gedefinieerd met $ \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {all states}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ We zeiden dat ze een deeltje creëren op positie $ r $ . Op de een of andere manier is het mij niet duidelijk wat dit betekent:
Een deeltje creëren op een exacte positie $ r_0 $ in QM zou betekenen dat we nu een extra status $ \ psi_i (r) = \ delta hebben (r-r_0) $ in onze slater-determinant. Ik betwijfel of dit de achterliggende gedachte is. Maar aangezien de $ a_i ^ {\ dagger} $ operatoren inwerken op $ N $ -particle state en toewijzen aan $ N + 1 $ particle states, moet hetzelfde gelden voor $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . Desalniettemin heb ik problemen met het interpreteren van het resultaat.
Laat het me weten als iets onduidelijk is.
Antwoord
De $ \ psi_i $ in uw som hoeven geen deltafuncties te zijn. Je kunt bijvoorbeeld denken dat het energie-eigenfuncties zijn $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$ waardoor een deeltje ontstaat op $ r $ betekent dat je een superpositie krijgt van alle mogelijke manieren een deeltje kan $ r $ zijn (in deze specifieke basiskeuze): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {complexe getallen}} | i \ rangle $$ waarbij $ | 0 \ rangle $ de vacuümtoestand is (of grondtoestand als je wilt) en $ | i \ rangle $ de Fock-toestand met een deeltje in de n-de modus. U kunt deze vergelijking zien als de vermelding dat voor elke $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ de waarschijnlijkheidsamplitude is van het vinden van het deeltje op de positie $ r $ als u weet dat het zich in de staat $ i $ bevindt.
Opmerkingen
- de interpretatie van het creëren van een superpositie van alle mogelijke manieren waarop een deeltje op de positie $ r $ kan komen, lijkt mij zinvol. Ik bedoel, wat we doen is, als ik je goed heb begrepen, dat we een deeltje in elke eigentoestand creëren en zoeken naar de waarschijnlijkheidsamplitude dat dit deeltje zich op positie $ r $ bevindt. Wat ik niet ' zie, is hoe dit begrip verband houdt met de daadwerkelijke creatie van een deeltje op positie $ r $. Als je erover nadenkt, dan zijn dit twee verschillende dingen. Kun je proberen uit te leggen wat we willen modelleren met deze veldoperator?
- Het hangt echt af van de context. De " particle " interpretatie is niet altijd geschikt, meer in het algemeen kun je deze operatoren zien als het creëren / vernietigen van kwantumtoestanden. In de context van QFT zijn deze toestanden inderdaad (meestal) deeltjestoestanden en $ | 0 \ rangle $ de toestand zonder deeltjes, en dus de terminologie. Maar bijvoorbeeld in NRQM is dit vaak niet waar, en de " vacuümtoestand " is in dit geval alleen de grondtoestand van het systeem . Ze " maken " / " vernietigen " stelt in die zin dat ze een bepaalde Fock-spatie naar een andere sturen met een extra / minder status van die specifieke soort.
Antwoord
Zie het als een verandering van basis. $ a_i ^ \ dagger $ creëert een deeltje in de staat $ | i \ rangle $. Nu kan deze toestand $ | i \ rangle $ worden geschreven in termen van de positiestaten $ | r \ rangle $ als $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ dus het creëren van een deeltje in deze toestand is gelijk aan het creëren van een deeltje in een superpositie van positietoestand met het juiste gewicht $ \ psi_i (r) $. Op equivalente wijze kan een deeltje gelokaliseerd in $ | r \ rangle $ worden beschreven als een superpositie van toestand $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ en zo een deeltje te creëren in de toestand $ | r \ rangle $, wordt de operator $ \ psi ^ \ dagger (r) $ gedefinieerd door de operator $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Reacties
- sorry, maar dit antwoord is hoogst verwarrend. je lijkt de posities samen te vatten. Merk op, die positie is niet discreet! Daarom heb ik ernstige problemen om uw $ | r \ rangle $ ' s te begrijpen.
- @TobiasHurth: dat ' s alleen notaties (denk aan een gediscretiseerde versie van de ruimte). Maar ik ben net overgestapt op integraal, als je je daardoor beter voelt.