Het eenheidsstappensignaal gedefinieerd als
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
heeft drie mogelijke oplossingen voor zijn Fourier-domeinweergave, afhankelijk van het type benadering. Dit zijn de volgende –
- De veel gevolgde benadering (Oppenheim Textbook) – het berekenen van de Fourier-transformatie van de eenheidsstapfunctie uit de Fourier-transformatie van de signumfunctie.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Fourier-transformatie berekend op basis van de Z-transformatie van de unit step-functie (raadpleeg Proakis Textbook, Digital Signal Processing Algorithms and Applications , pagina 267,268 sectie 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Fourier-transformatie berekend door opsplitsing in even en oneven functies – gevolgd in Proakis Textbook (zie Proakis Textbook, Algoritmen en toepassingen voor digitale signaalverwerking , pagina 618 sectie 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
De tweede representatie kan worden genegeerd aangezien het geen braaf functie is. Maar de benaderingen van Proakis en Oppenheim zijn even geldig (ze breiden de Fourier-transformatie uit met impulsen in het frequentiedomein). Maar de verwarring is dat ze verschillende oplossingen bieden.
Is er een fout in mijn begrip? of mis ik een cruciaal punt ?? Help me alstublieft dit te begrijpen en het juiste formulier dat in alle applicaties kan worden gebruikt. (Ik ontdekte dat de Oppenheim-benadering wordt gebruikt bij het afleiden van de Kramers-Kronig-relaties en de Proakis-benadering die wordt gebruikt bij de afleiding van de Hilbert-transformatie)
Antwoord
Merk op dat de eerste uitdrukking de Fourier-transformatie is van de continue eenheidsstap $ u (t) $, dus het is niet van toepassing op de discrete-tijd stappenreeks $ u [ n] $. Bovendien zijn de tweede en derde uitdrukking beide correct, en ze zijn identiek als je er rekening mee houdt dat de tweede uitdrukking geen geldigheid claimt bij gehele veelvouden van $ 2 \ pi $.
Als we laten hoekfrequenties weg bij veelvouden van $ 2 \ pi $, de derde uitdrukking wordt
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
die identiek is aan de tweede uitdrukking.
Opmerkingen
- Heel erg bedankt! Ja, de tweede en derde zijn gelijkwaardig maar in de derde hebben ze samenstelling door de impuls aan de polen mee te nemen. Bedankt voor de verduidelijking
Antwoord
Zoals Matt zei, de tweede en derde definitie zijn hetzelfde, behalve voor het deel met impuls. De impuls ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) staat voor de DC-waarde van $ u [n] $ . Zonder die term (dwz de tweede definitie) is het eigenlijk de FT van $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatornaam {sgn} [n] $ . We hebben $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . En daarom heeft de FT van $ u [n] $ de extra term om rekening te houden met de toevoeging van $ \ frac {1 } {2} $ . Bovendien is de discrete tijd FT (of DTFT) van $ u [n] $ correct geschreven als $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
De eerste definitie, $ U (j \ omega) $ is de “continue tijd “FT (of CTFT) van $ u (t) $ (niet $ u [n] $ ) en dus verschillend van de andere twee definities.