Wat is een AMDF?

Ik “heb het woord ” Formula “ nooit gezien met” AMDF “. Mijn begrip van de definitie van AMDF is

$$ Q_x [k, n_0] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limieten_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ Big | $$

$ n_0 $ is de buurt van interesse in $ x [n] $ . Houd er rekening mee dat u alleen niet-negatieve termen opsomt. Dus $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . We noemen “ $ k $ ” de “lag” . Duidelijk als $ k = 0 $ , dan $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . Als $ x [n] $ is periodiek met punt $ P $ (en laten we even doen alsof $ P $ is een geheel getal) dan $ Q_x [P, n_0] = 0 $ en $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ voor elk geheel getal $ m $ .

Nu zelfs als $ x [n] $ niet precies periodiek is, of als de periode niet precies een geheel aantal steekproeven is (bij de specifieke steekproefsnelheid die u gebruikt), zou $ Q_x [k, n_0] \ circa 0 $ verwachten voor elke vertraging $ k $ die in de buurt komt naar de punt of een geheel veelvoud van de periode. Als $ x [n] $ bijna periodiek is, maar de periode niet een geheel aantal steekproeven is, verwachten we dat we $ Q_x [k, n_0] $ tussen gehele waarden van $ k $ om een nog lager minimum te krijgen.

Mijn favoriet is niet de AMDF maar de “ASDF” (raad eens waar de “S” voor staat?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limieten_ {n = 0} ^ {N-1} \ big (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ big) ^ 2 $ $

Blijkt dat je daarmee calculus kunt doen omdat de kwadraatfunctie continue afgeleiden heeft, maar de absolute-waardefunctie niet.

Hier is nog een reden die ik leuk vind ASDF beter dan AMDF. Als $ N $ erg groot is en we een beetje snel en los spelen met de limieten van sommatie:

$$ \ begin {align} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n \ big (x [n] – x [n + k] \ big) ^ 2 \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ left (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ right) \\ \ end {align} $$

waar

$$ \ begin {align} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {align} $$

wordt normaal gesproken geïdentificeerd als de “autocorrelatie” van $ x [n] $ .

Dus we verwachten dat de autocorrelatiefunctie is een omgekeerde (en offset) replica van de ASDF. Waar de autocorrelatie ook piekt, is waar de ASDF (en meestal ook de AMDF) een minimum heeft.