Waarschuwing: Het eerste deel van dit antwoord neemt een zeer technische kijk op de BRST-procedure en werkt bovendien met een eindig-dimensionale faseruimte voor het gemak. Het kan nogal ver lijken van het begrip van geesten in de gemiddelde toepassing van BRST-transformaties of geesten als een hulpmiddel.

---

De algemene opvatting van geesten

Er zijn veel verschillende niveaus waarop men het verschijnen van geesten, anti-geesten en hun aantal in beperkte Hamiltoniaanse mechanica kan bespreken (wat hetzelfde is als ijktheorieën op een Lagrange-niveau). Een ervan is gedeeltelijk geschetst in dit antwoord van mij , waar de BRST-operator wordt weergegeven als het verschil in de algebra-cohomologie van de ijkmaat.

We zullen in dit antwoord naar een iets andere manier kijken om naar geesten te kijken, namelijk door ” de faseruimte ” uit te breiden, hoewel dit kan worden gezien als een herformulering van de Lie-algebra-cohomologiebenadering in ” faseruimte-termen “:

BRST-formalisme tracht op een abstract niveau de reductie te implementeren tot een beperkingsoppervlak $ \ Sigma $ in een faseruimte $ X $ niet door de constraints $ G_a $ op te lossen, maar door een geschikte vergroting van de faseruimte te zoeken zodat de functies op de vergrote faseruimte een gegradeerde afleiding $ \ delta $ die leven op hen wiens ho mology berekent de functies op het beperkingsoppervlak, die de ijkinvariante observabelen zijn. ¹

De vergrote faseruimte wordt als volgt verkregen:

1. Een functie op het beperkingsoppervlak $ \ Sigma $ wordt gegeven door het quotiënt van alle faseruimtefuncties modulo de functies die aan het oppervlak verdwijnen. Elke functie $ f $ die aan de oppervlakte verdwijnt, wordt gegeven door $$ f = f ^ a G_a $$ waarbij de $ f ^ a $ willekeurige faseruimte-functies zijn. Als men zoveel variabelen $ P_a $ introduceert als er beperkingen zijn, en $ \ delta P_a = G_a $ evenals $ \ delta z = 0 $ voor elke originele faseruimte-variabele, en vervolgens de afbeelding van $ \ delta $ zijn precies alle functies die verdwijnen op $ \ Sigma $ . Om $ \ delta $ te kunnen beoordelen, moet $ P_a $ worden opgevat als een graad $ 1 $ . De graad van een functie, eenvoudigweg de graad ervan als polynoom in de $ P_a $ , wordt de anti- spooknummer . ²

2. Het $ P_a $ zijn eenzaam en hebben geconjugeerde variabelen nodig. Deze worden gegeven door zogenaamde longitudinale 1-vormen op het beperkingsoppervlak, waarbij een longitudinaal vectorveld op het beperkingsoppervlak er een is dat raakt aan de banen van het meetinstrument. Hun duals zijn 1-vormen die alleen op longitudinale vectoren zijn gedefinieerd. Het zou geometrisch intuïtief moeten zijn (en het is in feite waar) dat de longitudinale vectorvelden precies de velden zijn die de ijktransformaties genereren (ze zijn weer gewoon een andere incarnatie van de ijk-Lie-algebra). Daarom zijn er evenveel eenvoudige longitudinale 1-formulieren $ \ eta ^ a $ als er beperkingen zijn, en aangezien er anti-spoken $ P_a $ .Aangezien er de natuurlijke actie $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ is per definitie van de dubbele, is het ook normaal om de Poisson-haak te definiëren op een vergrote faseruimte met coördinaten $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ door $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ dus de paren $ (\ eta ^ a, P_a) $ fungeren als extra paren van canonieke variabelen. De afleiding wordt eenvoudig uitgebreid naar de $ \ eta $ door $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Functies op deze vergrote faseruimte krijgen nu een puur spookgetal toegewezen op basis van hun graad in de $ \ eta $ .

Gegeven een functie op de vergrote faseruimte, de geest getal is gewoon het pure spookgetal minus het anti-spookgetal.

Het leuke van het spookgetal is dat het de lading is van een bepaalde generator – het wordt gemeten door de operator ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ die voldoet aan $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatornaam {gh} (f) f $$ voor elke functie van een bepaalde geest aantal. Het spookgetal is fysiek belangrijk omdat een toestand van spookgetal nul zijn, samen met de voorwaarde dat het BRST-onveranderlijk is, de noodzakelijke en voldoende voorwaarde is om een fysieke toestand te zijn.

Het verkrijgen van deze toestand vereist echter nu het BRST-verschil verkrijgen door een ander differentieel $ \ mathrm {d} $ toe te voegen aan $ \ delta $ , en laten zien dat de $ \ delta + \ mathrm {d} $ geeft, wanneer ” kleine verstoringen ” worden eraan toegevoegd, de nilpotente operator die nodig is voor het BRST-formalisme. (De afleiding hiervan is zeer technisch, en ook wel bekend als de ” stelling van de homologische storingsleer “). $ \ mathrm {d}, \ delta $ , men vindt dat de ijk-invariante functies precies die invariant zijn onder de BRST-operator met een spookgetal nul, dus de kwantumtheorie moet deze beperking ook opleggen.

---

^{1 ” wiens homologie berekent ” is wiskunde, want het is een operator $ \ delta $ , waarbij de ijkinvariante functies precies de functies zijn met $ \ delta (f) = 0 $ en waar we $ f $ en $ g identificeren $ als er een $ h $ is zodat $ \ delta (h) = f – g $ . Dit wordt ook een beetje ingewikkelder in het geval van herleidbare beperkingen.}

^{2 In het geval van onherleidbare beperkingen, berekent dit de meter al correct -invariante functies, en men zou hier in principe kunnen stoppen. Het is echter onbevredigend om de $ P_a $ te hebben toegevoegd, maar er geen geschikte geconjugeerde variabelen voor te hebben in het Hamiltoniaanse formalisme.}

^{3 Deze definitie is de discrete, niet-conforme analogon van de uitdrukking voor $ U $ die in de vraag is geschreven.}

^{Hoofdreferentie: ” Kwantisering van meetsystemen ” door Henneaux / Teitelboim}

---

Het specifieke geval van $ bc $ -CFT

Een algemene ” $ bc $ -CFT “, dwz een 2D conforme veldentheorie met spookachtige velden wordt gegeven door de spookactie $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partiële c (z ) + b (z) \ gedeeltelijke c (z) \ right) $$ wanneer de velden $ b $ en $ c $ hebben conforme gewichten $ h_b $ en $ h_c = 1 – h_b $ , respectievelijk. Faseruimtefuncties met spookgetal nul worden nu vertaald naar operators met een conform gewicht $ 1 $ (aangezien ze evenveel geesten en anti-geesten bevatten en het gewicht zich additief gedraagt ).

Dit toont aan dat primaire fysieke toestanden (door de toestandsveld-overeenkomst van 2D CFTs) in een dergelijke theorie noodzakelijkerwijs een conform gewicht moeten hebben $ 1 $ .Dit is van belang in de snaartheorie, waar een $ bc $ -CFT met $ h_b = 2 $ is natuurlijk toegevoegd aan de $ X $ -CFT van de worldsheet-velden. Voor een generieke CFT zouden alle mogelijke primaire toestanden in principe fysieke toestanden kunnen zijn, maar de BRST-procedure forceert toestanden van spookgetal nul, dwz velden met gewicht $ 1 $ , als de alleen toegestane fysieke toestanden.

Opmerkingen

• Dit is een zeer gedetailleerd antwoord, maar zou je ook een voorbeeld kunnen geven van het gebruik van spookgetallen in CFT specifiek ?
• @JakeLebovic: ik heb een korte uitleg toegevoegd over hoe de vereiste van nul spookgetal wordt weerspiegeld in het geval van de snaartheorie (wat het enige geval is dat mij bekend is waar geesten verschijnen in een CFT). / li>

In de conforme veldentheorie op het vlak moet je een inproduct definiëren in de ruimte van staten van uw theorie. In bosonische snaartheorie is de toestandsruimte, dwz de Hilbertruimte van de theorie $ \ mathcal {H} $ de ruimte van de representatie van Virassoro algebra:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

Bij de radiale kwantisatie van CFT op het complexe vlak, aan elke toestand in de Hilbertruimte van de theorie, kan men een lokale operator op het complexe vlak associëren, de zogenaamde correspondentie tussen operator en staat . Het BPZ inproduct op deze Hilbertruimte kan worden gedefinieerd. Het eerste is om de asymptotische toestanden $ | 0 \ rangle $ en $ \ langle0 | $ te definiëren.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identiteitsoperator} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {bij de oorsprong} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Identiteitsoperator} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {op oneindig} \, \, z = \ infty $$

Deze twee kunnen worden gerelateerd door een conforme transformatie $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Aangetoond kan worden dat onder deze conforme transformatie de modi $ \ hat {\ alpha} _n $ van een veld $ \ Phi $ van conforme dimensie $ h _ {\ Phi} $ transformeert als:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Dus onder de conforme transformatie hebben we de volgende:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Dit impliceert voor de Virasoro-algebra dat $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ en $ L_1 $ en hun anti-holomorfe tegenhangers $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ en $ \ overline {L} _1 $ vernietigen zowel $ | 0 \ rangle $ als $ \ langle0 | $. Maar deze modi genereren de groep $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, de groep van globale conforme transformatie op de Riemann-sfeer. Dus $ | 0 \ rangle $ staat bekend als $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – invariant vacuüm.

Aan de andere kant kan met $ (1) $ worden aangetoond dat $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ en $ b_1 $ ook zowel $ | 0 \ rangle $ als $ \ langle0 | $. Canonieke commutatierelatie van het $ bc $ -systeem toont aan dat:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

dus de modi $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ en $ c_1 $ vernietigen geen van de $ \ rvert0 \ rangle $ en $ \ langle0 \ rvert $. Het eerste niet-nul matrixelement voor het $ bc $ -systeem op de Riemann-sfeer is dus:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

De BPZ-vervoeging dwz relatie (1) schendt het spookgetal met 3 eenheden. De actie van het $ bc $ -systeem heeft de volgende spookgetalsymmetrie:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

De overeenkomstige stroom is:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

Waarin $: \ cdots: $ de normale volgorde aangeeft.

De oorsprong van de schending van het spookgetal zoals hierboven beschreven, is een geometrische. $ j $ is de fermiongetalstroom van chirale fermionen die niet-converntiële integer-spin hebben (de $ b $ en $ c $ hebben beide integer-spin.) Dus het heeft gravitatie-anomalie:

$$ \ partiële_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

Waarin $ \ lambda $ de conforme dimensie is van $ b $. Door dit te integreren, kan men zien dat de schending van het spookgetal op een genus $ g $ Riemann-oppervlak (wereldblad van gesloten snaartheorie) $ 3 (g-1) $ is. Het belang van spookstroom is dat het de niet-nul S-matrixelementen van de CFT bepaalt.