Voor zover ik het begrijp, is de zwaartekrachtbindende energie van een of andere verdeling van massa het negatief van zijn zwaartekracht-zelf-potentiële energie.
Ik heb geprobeerd de laatste te berekenen voor een vaste bol met straal $ R $, massa $ M $ en uniforme dichtheid.
Volgens de schelpstelling (of de gravitatiewet van Gauss) wordt de veldsterkte op een afstand $ r $ vanaf het midden van de bol gegeven door
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
waarbij $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ de massa is die is ingesloten in een bol met straal $ r $.
De zwaartekrachtpotentiel bij een afstand $ r $ gecreëerd door deze distributie is dus
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
De zelf-gravitatie potentiele energie is de som van de zwaartekrachtpotentiele energieën $ U \ cdot dm $ over alle massa-elementen $ dm $ in de distributie.
Laten we verder gaan met shell-integratie. De massa in de schaal van binnenste straal $ r $, buitenste straal $ r + dr $ is gewoon
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
De eigen potentiële energie van de bol is dus
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
wat precies de helft is van het juiste antwoord.
Ik heb mijn werk meerdere keren gecontroleerd op eenvoudige fouten, maar ik kan” de oorzaak van de foutfactor $ 2 $ niet vinden. Dit doet me geloven dat er iets fundamenteel mis is met de manier waarop ik de energie heb berekend.
Waar is het probleem?
Reacties
- In je MathJax kun je ' gebruikt \ big voor grote haakjes, wat niet ' werkt. Gebruik in plaats daarvan \ left en \ right. \ Big is een vaste size, terwijl \ left en \ right automatisch worden geschaald naar de grootte die nodig is voor de ingesloten inhoud van de haakjes.
Answer
Het probleem is de manier waarop je je schelpen vormt — of ze nu van binnenuit of van buiten de vorige schelpen komen. Voor bindingsenergie betekent dit de hoeveelheid energie die nodig zou zijn om achtereenvolgens elke opeenvolgende schaal tot in het oneindige te verwijderen. Het potentieel moet dus worden berekend met betrekking tot oneindigheid, niet de oorsprong; je uitdrukking voor potentieel zou suggereren dat elke schaal begint bij de oorsprong en zich door de bestaande massa uitbreidt tot een straal $ r $, in plaats van zich van buitenaf rond een reeds bestaande kern te verenigen. Bereken dus het potentieel als
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Dit zou de factor twee moeten oplossen.
Terminologie terzijde, ik denk dat we het eens kunnen worden over het concept van wat de omvang van het energiemiddel, dus positief of negatief heeft geen enorme impact. Om een idee te krijgen van de bovenstaande integraal, stellen we ons een enkel deeltje voor dat naar binnen wordt getrokken door de zwaartekracht van de nog steeds vormende bal (met radius $ r $), in plaats van een schaal. Als het deeltje vanuit oneindigheid binnenkomt, is het potentieel dat het voelt het gebruikelijke Newtoniaanse zwaartekrachtpotentieel, helemaal totdat het het oppervlak van de bal raakt. Nu, elk klein beetje massa $ dm $ van een shell die wordt toegevoegd zal ook hetzelfde potentieel voelen; we kunnen de shell beschouwen als vele kleine deeltjes die tegelijkertijd vanuit alle richtingen binnenkomen. Elke keer dat we op deze manier een shell toevoegen, $ r \ rightarrow r + dr $, dus $ M_ {enc} $ neemt dienovereenkomstig toe, waarmee we rekening houden in de integraal meer dan $ r $. Dit is in tegenstelling tot de integraal met de begrenzingen $ [0, R] $ in de vraag, omdat zon integraal meer verwant is aan de hoeveelheid energie die nodig zou zijn om massaschillen vanaf de oorsprong naar buiten te “blazen”. Bij een dergelijk proces zou de bal volledig doorlatend moeten zijn terwijl de schalen naar de oppervlakte worden opgeblazen, maar als dit het geval zou zijn, zou de hele bal onmiddellijk weer op zichzelf instorten vanwege zijn gebrek aan stijfheid.
Opmerkingen
- Ok. Ten eerste weet ik eigenlijk niet ' wat zwaartekracht bindende energie. Ik weet alleen wat energie voor zelfpotentieel is. De eigen potentiële energie van een systeem van massa $ m_1, … m_N $ is de som van $ U_ {i, j} $ over alle paren $ (i, j) $ met $ i < j $ waarbij $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ de afstand is tussen de massa $ m_i $ en $ m_j $. Dit is wat ik probeerde te berekenen.
- Ten tweede, je integraal ' is niet logisch voor mij. $ M_ {enc} (r) $ zou vervangen moeten worden door $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh heeft gelijk: je nam de verkeerde definitie van de bindingsenergie. Zie dit Wikipedia-artikel voor de volledige berekening: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: Wat ik eigenlijk heb berekend, is de zelfzwaartekrachtpotentiele energie, die gewoon het negatief is van de bindingsenergie. Ik heb hierboven de zelf-potentiële energie beschreven, dwz eenvoudigweg de energie van de massaverdeling vanwege zijn eigen zwaartekrachtveld.
- Ik heb verduidelijking toegevoegd in het antwoord, omdat het niet ' t passen hier in de comments. Het essentiële verschil tussen onze twee grootheden is de hoeveelheid energie die nodig is om alle stukjes massa oneindig ver van elkaar te verwijderen versus de hoeveelheid energie die nodig is om te voorkomen dat de bal op zichzelf instort. De eerste is de zwaartekrachtbindende energie (vanwege het zelfpotentieel), en de laatste is meer een maat voor de minimale starheid van de betrokken materie.
Antwoord
Er zijn problemen met de manier waarop u potentieel berekent en met de manier waarop u zwaartekrachtbindingsenergie berekent.
Het zwaartekrachtveld binnen de bol is radiaal naar binnen en van magnitude $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Het zwaartekrachtveld buiten de bol is radiaal naar binnen en van grootte $ GM / r ^ 2 $.
Het zwaartekrachtpotentieel is het werk dat per massa-eenheid wordt gedaan om die massa van oneindig naar $ r $ te brengen.
Het potentieel in een straal $ r $ binnen de bol is $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r “^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr “} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Echter, dit is niet nodig om de bindingsenergie van een bol te berekenen, aangezien de zwaartekrachtbindingsenergie de som is van de energieën die nodig zijn om massaschillen van het oppervlak van een bol te verwijderen tot in het oneindige ( stel je voor dat je lagen van het oppervlak afpelt totdat je het midden bereikt).
Het potentieel aan het oppervlak van een bol met massa $ M “$ is $ -GM” / R “$, waarbij de constante dichtheid $ \ rho = 3M “/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Dus $$ V (R “) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$ en de bindingsenergie is gelijk tot $ V (R “) $ vermenigvuldigd met de massa van een schaal, $ dM = 4 \ pi R “^ 2 \ rho \ dR” $, geïntegreerd over massaschillen van nul tot de laatste straal van de ster.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R “^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR “$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$