Wat is frequentieresolutie?

Bewerken:

Ik ben me gaan realiseren dat mijn onderstaande definitie van " Frequentieresolutie " volledig is fout (evenals de vraag van OP). Frequentieresolutie is hoe vergelijkbaar de grootte van de vensterfunctie in frequentieruimte is met de Dirac-deltafunctie. Dit komt doordat het product van het venster en het signaal in het tijdsdomein convolutie wordt in het frequentiedomein ( en een convolutie met de Dirac-deltafunctie is een bemonstering die een perfecte frequentieresolutie zou geven) Hoe dikker de hoofdlobe (gekwantificeerd door zijn variantie), en hoe hoger de zijlobben, hoe slechter de frequentieresolutie. Bovendien kan Tijdresolutie worden gekwantificeerd als de variantie van de vensterfunctie in het tijddomein.

Frequentieresolutie is niet Bin Resolutie / Breedte. In de onderstaande grafiek ziet u dat de lobben niet dichterbij komen (frequentieresolutie), ook al neemt de bin-breedte af.

Credit: Dan Boschen

Frequentieresolutie is eerder een eigenschap van de Fourier-transformatie van de rechthoekige functie (dwz de sinc-functie).

We hebben vensterfuncties nodig om met Fourier-transformaties te werken (zelfs als ze theoretisch werken). Als gevolg hiervan werken we altijd met $ f (t) w (t) $ in plaats van de functie $ f (t ) $ zelf (hier is $ w (t) $ een rechthoekige functie). Volgens de convolutiestelling is de Fourier-transformatie van een functie met vensters altijd een convolutie van $ \ hat {f} $ met $ \ hat {w} = $ sinc. Met name wanneer $ f $ sinusoïdaal is, is $ \ hat {f} $ een Dirac-deltafunctie en de convolutie zal slechts een steekproef zijn van een sinc-functie. Dus verliezen we periodiek frequenties volledig bij het windowen, de periodiciteit van dit verlies is de frequentieresolutie .

Aangezien bij functies in vensters de DTFT een periodieke benadering is van de CTFT, verkrijgt hij ook deze eigenschappen.

De verwarring ontstaat omdat wanneer we geen nullen opvullen bij de DFT (dwz alleen voorbeeld $ f (t) w (t) $ waarbij $ w (t) = 1 $ ), de bakbreedte is gelijk aan de frequentieresolutie.

We kunnen echter ook nullen opvullen (dwz ook sample $ f (t) w (t) $ waarbij $ w (t) = 0 $ ) en dit resulteert in de DTF die de DTFT van $ f (t) w (t) $ . Overleg met de eerste grafiek.

Om te zien waarom de Fourier-transformatie van de rechthoekige functie de a sinc-functie is bekijk deze video en overweeg de opwinding van de sinusoïdale functies (het is echter behoorlijk ingewikkeld)

Om het voorbeeld van OP te beantwoorden is de bin-resolutie $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ waarbij $ F_s = 2000 $ Hz de bemonsteringsfrequentie is, en $ N $ de DFT-grootte.

De frequentieresolutie is wat de bin-resolutie zou zijn als we gewoon een steekproef zouden nemen in het venster (geen nulopvulling)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ waarbij $ M $ is het aantal voorbeelden in het venster, $ T $ is de duur van de steekproef en $ F_s = M / T $ .

Reacties

• Goed antwoord Tom.Om ook toe te voegen, zo niet duidelijk, gebruiken we ' vaak geen rechthoekig venster, maar andere vensters die taps toelopen, dienen om de zijlobben aanzienlijk te verkleinen (verbetering van het dynamisch bereik) ten koste van degraderen frequentie resolutie verder. Een van mijn favoriete klassieke papers hierover en de toepassingen van de DFT in het algemeen is van Fred Harris. Ik denk dat je ' er echt van zult genieten als je ' nog niet hebt gezien: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Leuk, jammer dat ik ' niet twee keer kan stemmen!
• @TomHuntington Wikipedia heeft kennelijk geen ' weet van mijn formules of technieken. Ik heb nog steeds moeite met intrabinische resolutie (vanwege ruis en de gevoeligheid van de vergelijkingen), maar nabije frequenties kunnen worden opgelost door iteratieve schatting en verwijdering. Wanneer u de grote toon verwijdert, is de kleinere te schatten. Als u de kleine toon verwijdert, leest u de grote beter. Enzovoort, zelfs met meerdere tonen. Elk soort venster bemoeilijkt de wiskunde.
• Als je twee sinusoïden hebt met bijna gelijke amplitude, maar zeer dicht bij elkaar in frequentie, kun je het zwevingsfenomeen gebruiken in het tijdsdomein. De schijnbare frequentie van het signaal (door nuldoorgangen) is het gemiddelde van de twee frequenties en de frequentie van de envelop (als je een volledige cyclus neemt, bijvoorbeeld twee lobben) is de helft van het verschil tussen de frequenties.
• Bovendien bepaalt resolutie uw precisie bij alles wat u meet. Het zegt niets over nauwkeurigheid.

Hangt een beetje af van wat je probeert te bereiken.

Als u een FFT uitvoert met de lengte $ N $ van een signaal dat is bemonsterd op bemonsterd met een snelheid van $ F_s $ , dan zouden veel mensen zeggen dat uw frequentieresolutie $ \ frac {F_s} {N} $ is. Of dat klopt of niet, hangt er echt van af hoe u precies de frequentieresolutie definieert en wat u ermee wilt doen.

Wat er echt gebeurt, is dat u een frequentiedomeinfunctie bemonstert met een steekproef interval van $ \ frac {F_s} {N} $ . Zodra u een FFT-grootte kiest, neemt u steekproeven in beide domeinen met de steekproefintervallen $ \ frac {1} {F_s} $ in tijd en $ \ frac {F_s} {N} $ in frequentie.

Frequentiedomeinsteekproeven hebben dezelfde eigenschappen, vereisten en problemen als tijddomeinsteekproeven. krijg aliasing, je kunt interpoleren, er is een veronderstelde periodiciteit in het andere domein, enz.

Door simpelweg de bemonsteringsstelling toe te passen, zouden we kunnen stellen dat de frequentieresolutie die nodig is om een signaal volledig te karakteriseren, gewoon het omgekeerde is van lengte in het tijdsdomein. Dit werkt goed voor signalen die inherent tijdgebonden zijn, zoals de impulsresponsie van een LTI-systeem.

Het is echter niet praktisch voor lange continue signalen. In dit geval moet u een frequentieresolutie kiezen die “goed genoeg” is voor uw toepassing, en dat hangt echt af van de vereisten en het doel van uw specifieke toepassing.

De steekproef wordt gegeven door $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
De Window-lengte is 1000 Samples.
Aangezien de Window-lengte gelijk moet zijn aan de datalengte, concluderen we dat de datalengte 1000 samples is wat betekent dat de bemonsteringstijd $ 0,5 $ [sec] is.

De bin-resolutie in DFT is de verhouding tussen het bemonsteringsinterval en het aantal DFT-samples, in dit geval 2000. Daarom is de bin-resolutie $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

De binwidth van de FFT of de resolutie van representatie zoals ik het graag noem is Fs / N, waarbij N de grootte van FFT is. De werkelijke resolutie hangt af van het venster dat u gebruikt en de lengte van het venster.

Bijvoorbeeld: een rechthoekig venster geeft een maximale resolutie maar minder dynamisch bereik. Andere, vloeiendere vensters bieden minder resolutie met een groter dynamisch bereik of lagere zijlobben.