Wat is het Fermi-oppervlak ? Ik hoop dat deze vraag niet te elementair is voor dit forum, en bied bij voorbaat mijn excuses aan voor het geval dat het geval is.

Sta mij toe mijn verwarring uit te leggen. Gegeven een solide, denk ik dat ik enig gevoel heb voor het Fermi-niveau. Ik kan het bijvoorbeeld begrijpen als de karakteristieke parameter $ \ mu $ in de Fermi-Dirac-verdeling van energieniveaus voor de elektronen in het systeem: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ negeren voorlopig andere fysieke interpretaties. Het is dus het unieke energieniveau dat de kans heeft 1/2 om bezet te zijn.

De definitie van het Fermi-oppervlak wordt daarentegen meestal gegeven als het iso-oppervlak van toestanden met energie gelijk aan het Fermi-niveau “in de driedimensionale ruimte van golfvectoren $ k $ , bijvoorbeeld in dit Wikipedia-artikel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Met andere woorden, het is gedefinieerd als die $ k $ zodanig dat $$ E (k) = \ mu. $$ Tot nu toe, zo goed. Het probleem is dat ik niet helemaal begrijp wat $ E (k) $ is.

Eén situatie lijkt eenvoudig, namelijk een Fermi gas van identieke deeltjes. Dan $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ en het Fermi-oppervlak is een bol. Als we bevinden ons in een oneindig periodiek potentieel, het gebruikelijke geïdealiseerde model voor de Bloch-theorie, dan komen de oplossingen voor de Schroedinger-vergelijking uit in de vorm $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ waarbij $ u_ {kn} $ een periodieke functie is en $ n $ is een discrete index voor energieniveaus. Met andere woorden, voor elke golfvector $ k $ ,

er zijn veel energieniveaus $ E_n (k) $ .

Dus de vergelijking voor de Fermi surface zou er eigenlijk uitzien als $$ E_n (k) = \ mu. $$ Mijn vraag, daarom, is welk energieniveau de $ E (k) $ die voorkomt in de definitie van het Fermi-oppervlak? Misschien is er één Fermi-oppervlak voor elk niveau $ n $ ? (Ervan uitgaande dat de niveaus continu variëren over de momentumruimte, waardoor we consequent de niveaus kunnen indexeren voor variërende $ k $ .)

Als ik kon geef nog wat meer uitleg over mijn verwarring, ik begrijp de definitie in dit antwoord op deze vraag niet helemaal:

Wat is Fermi-oppervlak en waarom is dit concept zo nuttig bij metaalonderzoek?

Er wordt gesteld dat

“Het Fermi-oppervlak is gewoon het oppervlak in de momentumruimte waar, in de limiet van nul interacties, alle fermiontoestanden met (kristal) momentum $ | k | < | k_F | $ zijn bezet en alle hogere momentumtoestanden zijn leeg. “

Ten eerste, zoals hierboven vermeld, voor elk momentum $ k $ is er is een oneindige opeenvolging van fermiontoestanden. Het andere probleem is dat ik “niet zeker weet of de bovenstaande uitspraak een uniek oppervlak definieert, zelfs als ik op de een of andere manier een fermiontoestand kon uitkiezen $ \ psi (k) $ voor elke $ k $ waarnaar de bewering verwijst. (Ik zou een tekening moeten maken om dit punt uit te leggen, waar ik “niet de competentie voor heb.)

Opmerkingen

  • The Fermi oppervlak wordt gedefinieerd bij een temperatuur van het absolute nulpunt, dus je neemt de grondtoestandoplossingen $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • En in een vast lichaam kijk je naar de toestanden binnen een ( Wigner-Seitz) eenheidscel.
  • Citroen: ik vind dat ook nogal verwarrend. Dus je uitspraak zou ‘ zijn. Het Fermi-oppervlak is de set van $ k $ zodanig dat $ E_0 (k) = \ mu $, ‘ waar $ E_0 (k) $ de laagste energie is met momentum $ k $. Maar dan, in een solide waar veel van de lagere energiebanden zijn gevuld, er zouden veel elektronen boven het Fermi-niveau zijn. Dit lijkt niet in overeenstemming te zijn met het gebruikelijke beeld.
  • Jon Custer: ik denk dat je ‘ verwijzend naar het feit dat elk van de $ u_ {kn} $ wordt bepaald door hun waarden in een cel. Dat ‘ is waar. Maar er zijn geen toestanden die alleen conc ingevoerd in een cel. (De $ u_ {kn} $ zijn periodiek.) In elk geval zie ik ‘ niet hoe dit de vraag beantwoordt.Zoals je het uitdrukt, laat je het klinken als ‘ voor elke $ k $, er is een unieke $ \ psi_ {kn} $ geconcentreerd in een cel, en de energie is wat we gebruiken om het Fermi-oppervlak te definiëren. ‘ Dit klinkt om verschillende redenen niet ‘ t goed.

Antwoord

Alles wat je zegt is correct. Het Fermi-oppervlak wordt gedefinieerd als de verzameling punten $ k $ zodat $ E_n (k) = \ mu $ voor elke band $ n $. Meestal zijn de banden echter relatief ver uit elkaar geplaatst en overlappen ze elkaar niet in energie, zoals hier:

voer afbeelding in beschrijving hier

Zoals we kunnen zien, liggen de banden 1 en 3 volledig boven of volledig onder de chemische potentiaal $ \ mu $ en zijn ze dus niet relevant voor het bepalen van het Fermi-oppervlak ( in feite zijn die banden bij lage temperaturen vrijwel irrelevant voor alle fysieke verschijnselen – alleen banden in de buurt van het chemische potentieel zijn fysiek belangrijk). Daarom kun je in de praktijk wegkomen door alleen maar te overwegen een of twee banden en alle andere volledig negerend – en wanneer er “een Fermi-oppervlak is (dwz het chemische potentieel snijdt een band (en)), is één band bijna altijd voldoende.

In meer gecompliceerde / ongebruikelijke systemen, maar u moet wel meerdere banden bijhouden. Soms kunnen banden elkaar raken of kruisen, en er kunnen grappige dingen gebeuren als u het chemische potentieel precies afstemt op de cr ossing punt. Nog ongebruikelijker is dat twee banden een heel eindig bereik van energie kunnen delen – bijv. twee cosinuscurves verticaal verschoven met een klein beetje. Maar deze gevallen zijn zeer zeldzaam – voor de meeste alledaagse materialen zit $ \ mu $ in maximaal één band en u hoeft zich hier geen zorgen over te maken. (In feite vinden professionele natuurkundigen het leuk om ongebruikelijke materialen te vinden / maken waarvan de chemische potentie zit precies op een kruising van een band, precies omdat dergelijke systemen “niet zo theoretisch goed begrepen worden, dus er valt meer te leren.)

Tussen haakjes, in 1-D, zoals de plot hierboven, bestaat het Fermi “oppervlak” alleen uit geïsoleerde waarden van $ k $, maar in 2-D is het meestal een gesloten curve in het $ k_x $ – $ k_y $ vlak , en in 3D is het meestal een gesloten oppervlak, zoals een bol. Soms kan het Fermi-oppervlak eigenlijk bestaan uit twee (of meer) bollen, met de ene in de andere, en de gevulde Fermi sea “want de relevante band ligt tussen hen. Dit fenomeen wordt” Fermi surface nesting “genoemd. Maar als je net leert over Fermi-oppervlakken, dan hoef je je daar geen zorgen over te maken. gecompliceerde situaties voor een lange tijd.

Opmerkingen

  • Bedankt voor het duidelijke antwoord. Trouwens, ik ‘ heb nu begrepen dat het woord ‘ band ‘ wordt gebruikt op twee verschillende manieren in de fysica van de vaste stof. Het woord dat je hier gebruikt, verwijst alleen naar een energieniveau. Maar er is ook het idee van een band als een in wezen continue distributie van energieniveaus, waartussen zich ‘ hiaten bevinden. ‘ Ik denk dat dit was een groot deel van mijn verwarring. Corrigeer me als ik ‘ hier verkeerd in heb.
  • @MinhyongKim A ” band ” wordt gedefinieerd als een enkele curve $ E_n (k) $ voor een gegeven waarde van $ n $. (Ik vind het ‘ enigszins misleidend om dat een ” energieniveau ” te noemen omdat de functie is over het algemeen niet constant, dus het neemt waarden over een heel eindig interval van energieën.) Mensen misbruiken af en toe terminologie en gebruiken ook het woord ” band ” om te verwijzen naar het energie-interval waarover de functie zich uitstrekt – dat wil zeggen het ineenstorten van de impulsafhankelijkheid. U ‘ heeft gelijk dat dit is waar mensen aan denken als ze het hebben over ” bandgaten. ” Maar de twee betekenissen van ” band ” zijn eigenlijk bijna identiek …
  • .. . het enige verschil is of je de afhankelijkheid van $ k $ bijhoudt of gewoon kijkt naar de functie ‘ s bereik.
  • Bedankt voor de verdere uitleg. Maar het lijkt me enigszins belangrijk om de twee zintuigen te onderscheiden. Als het woord ‘ band ‘ werd gebruikt in de zin van elektronische bandstructuur, dan is de vergelijking $ E_n (k) = \ mu $ zou niet ‘ niet goed gedefinieerd zijn, zelfs niet voor een vaste waarde van $ n $. Dit was een van de erg verwarrende dingen voor een beginneling als ik. In ieder geval nogmaals bedankt!

Antwoord

Het Fermi-oppervlak is het oppervlak in de wederkerige ruimte (de tweevoudig van de werkelijke ruimte waarin u leeft) die de fermionische bezette staten begrenst van de fermionische onbezette staten bij een temperatuur van nul.Het is dus een momentum ($ k $) constructie in plaats van een energieconstructie.

De logica is de volgende: probeer allemaal een bepaald aantal fermionen samen te voegen. Omdat ze het Pauli-uitsluitingsprincipe volgen, kun je deze fermionen niet verpakken zoals je wilt. Elke keer dat er ruimte is voor een toestand in de momentumruimte, kan slechts één fermion deze lege kamer bezetten. Dus je moet beginnen met het opstapelen van de fermionen. Het heeft een volledige analogie met het vullen van een boekenkast met boeken: je moet de volgende rij gebruiken als de vorige vol is. Je kunt kleinere intervallen tussen raws gebruiken, de grootte van elke raw vergroten, …, als je te veel boeken hebt, zou je de volgende raw kunnen gebruiken, wat niets anders is dan de volgende momentum branch in je dispersierelatie (wat je noemt $ k_n (E) $). Wanneer je het laatste fermion in je fermionische boekenkast plaatst, wordt de corresponderende momentumtoestand het Fermi-momentum genoemd, de overeenkomstige energie wordt de Fermi-energie genoemd, …, en het oppervlak van iso- $ k $ bij het Fermi-momentum wordt het Fermi-oppervlak genoemd.

Nu weinig opmerkingen

  • Er zal nooit een oneindig aantal vertakkingen worden gebruikt om een eindig aantal fermionen in de dispersierelaties (de bandstructuur van het materiaal als je dat liever hebt).

  • Er is geen tegenstrijdigheid in de veronderstelling dat het Fermi-oppervlak meerdere vellen heeft. Zelfs op Wikipedia heb je al een voorbeeld van een Fermi-oppervlak met elektronen- en gatholtes

  • Het concept van Fermi-oppervlak komt voort uit de notie van (Fermi-Dirac) statistiek, wanneer je een eindig aantal deeltjes hebt om mee om te gaan (in een oude terminologie is het een tweede gekwantiseerd probleem), terwijl de bandstructuur het volledige spectrum van beschikbare toestanden voor één deeltje (in de oude terminologie is het een eerste gekwantiseerd probleem) in een periodiek potentieel. De gemakkelijke manier om van de ene naar de andere over te gaan, is door gebruik te maken van de chemische potentiaal, die het aantal deeltjes per energietoestand vastlegt (meer precies, de hoeveelheid energie die nodig is om een deeltje aan het thermodynamische systeem toe te voegen).

  • Het Fermi-oppervlak is een bijzonder nuttig concept om enkele transporteigenschappen (elektrisch, warmte, … transporten) te begrijpen voor materialen met eenvoudige bandstructuren, zoals zuivere metalen en gedoteerde halfgeleiders. Wanneer het Fermi-oppervlak te gecompliceerd wordt, wordt het moeilijk om er enige intuïtie uit te halen. Ik denk dat dit de kern is van het misverstand van het concept in uw vraag.

Opmerkingen

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *