Als de standaard normale pdf $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x is ^ 2/2} $$
en de CDF is $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
hoe verandert dit in een foutfunctie van $ z $?
Opmerkingen
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Ik zag dit, maar het begint met ERF al gedefinieerd.
- Nou, er is ' een definitie van erf en een definitie van de normale CDF .. De relaties, af te leiden door enkele routineberekeningen, worden weergegeven als naar hoe ze tussen hen kunnen converteren, en hoe ze tussen hun inverses kunnen converteren.
- Sorry, ik zie ' niet veel van de details. De CDF is bijvoorbeeld van -Inf tot x. Dus hoe gaat de ERF van 0 naar x?
- Bent u bekend met de calculustechniek van verandering van variabele? Zo niet, leer dan hoe u het moet doen.
Antwoord
Omdat dit vaak voorkomt in sommige systemen (voor bijvoorbeeld, Mathematica staat erop de normale CDF uit te drukken in termen van $ \ text {Erf} $), het is goed om een thread als deze te hebben die de relatie documenteert.
Volgens de -definitie is de foutfunctie
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Het schrijven van $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ impliceert $ t = z / \ sqrt {2} $ (omdat $ t $ niet negatief is), vandaar $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. De eindpunten $ t = 0 $ en $ t = x $ wordt $ z = 0 $ en $ z = x \ sqrt {2} $. Om de resulterende integraal om te zetten in iets dat eruitziet als een cumulatieve verdelingsfunctie (CDF), moet deze worden uitgedrukt in termen van integralen met lagere limieten van $ – \ infty $, dus:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Die integralen aan de rechterkant zijn beide waarden van de CDF van de standaard normale distributie,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Specifiek,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Dit laat zien hoe de foutfunctie kan worden uitgedrukt in termen van de normale CDF. Algebraïsche manipulatie daarvan geeft gemakkelijk de normale CDF in termen van de foutfunctie:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Deze relatie (in ieder geval voor reële getallen) wordt weergegeven in grafieken van de twee functies. De grafieken zijn identieke curven. De coördinaten van de foutfunctie aan de linkerkant worden geconverteerd naar de coördinaten van $ \ Phi $ aan de rechterkant door de $ x $ coördinaten te vermenigvuldigen met $ \ sqrt {2} $, $ 1 $ toe te voegen aan de $ y $ coördinaten, en dan de $ y $ -coördinaten delen door $ 2 $, die de relatie weerspiegelt
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
waarin de notatie expliciet deze drie bewerkingen van vermenigvuldigen, optellen en delen weergeeft.
Reacties
- Ik denk $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ is de juiste manier om ze te relateren, rekening houdend met het gemiddelde en de standaarddeviatie.