Wat is het verschil tussen fasevertraging en groepsvertraging?

Allereerst zijn de definities anders:

• Fasevertraging: (de negatieve van) Fase gedeeld door frequentie
• Groepsvertraging: (de negatieve van) Eerste afgeleide van fase versus frequentie

In woorden dat betekent:

• Fasevertraging: fasehoek op dit punt in frequentie.
• Groepsvertraging: snelheid waarmee de fase rond dit punt in frequentie verandert.

Wanneer u de een of de ander moet gebruiken, hangt echt af van uw toepassing. De klassieke toepassing voor groepsvertraging zijn gemoduleerde sinusgolven, bijvoorbeeld AM-radio. De tijd die het modulatiesignaal nodig heeft om door het systeem te komen, wordt bepaald door de groepsvertraging en niet door de fasevertraging. Een ander audiovoorbeeld zou een kickdrum kunnen zijn: dit is meestal een gemoduleerde sinusgolf, dus als je wilt bepalen hoeveel de kickdrum wordt vertraagd (en mogelijk uitgesmeerd in de tijd), is de groepsvertraging de manier om ernaar te kijken.

Opmerkingen

• ” Absolute fase op dit punt in frequentie ” Zou niet ‘ t dat zojuist ” fase ” wordt genoemd?
• Ik bedoelde ” absoluut ” in vergelijking met ” relatief “, maar ik zie dat dit verward kan worden met ” absolute waarde “. Ik ‘ zal het bewerken
• een laatste belangrijk verschil: de fasevertraging op een bepaalde frequentie $ f $ is de tijdsvertraging van de fase van het quasi-sinusvormige signaal met frequentie $ f $ ging door het filter. de groepsvertraging is de tijdvertraging van de envelop of ” groep ” van de quasi-sinusoïde.

Ze meten niet allebei hoeveel een sinusoïde is vertraagd. Fasevertraging meet precies dat. Groepsvertraging is iets gecompliceerder. Stel je een korte sinusgolf voor met een amplitude-envelop die erop wordt toegepast, zodat deze in- en uitfaden, bijvoorbeeld een gaussiaans vermenigvuldigd met een sinusoïde . Deze envelop heeft een vorm, en in het bijzonder heeft het een piek die het midden van dat pakket vertegenwoordigt. Groepsvertraging vertelt je hoeveel die amplitude-envelop zal worden vertraagd, in het bijzonder hoeveel de piek van dat pakket zal voorbij komen.

Ik denk hier graag over na door terug te gaan naar de definitie van groepsvertraging: het is de afgeleide van fase. De afgeleide geeft u een linearisering van de faserespons op dat punt. Met andere woorden, op een bepaalde frequentie vertelt de groepsvertraging u ongeveer hoe de faserespons van de aangrenzende frequenties zich verhouden tot de faserespons op dat punt. Onthoud nu hoe we een amplitudegemoduleerde sinusoïde gebruiken. De amplitudemodulatie neemt de piek van de sinusoïde en introduceert zijbanden op aangrenzende frequenties. Dus in zekere zin geeft de groepsvertraging je informatie over hoe de zijbanden zullen worden vertraagd ten opzichte van die draaggolffrequentie, en door die vertraging toe te passen, zal de vorm van de amplitude-envelop op de een of andere manier veranderen.

De gek ding? Oorzakelijke filters kunnen een negatieve groepsvertraging hebben!Neem je gaussiaans vermenigvuldigd met een sinusoïde: je kunt een analoog circuit bouwen zodat wanneer je dat signaal doorstuurt, de piek van de envelop in de uitvoer vóór de invoer verschijnt. Het lijkt een paradox, aangezien het lijkt alsof het filter moet in de toekomst “kijken”. Het is absoluut raar, maar een manier om erover na te denken is dat, aangezien de envelop een zeer voorspelbare vorm heeft, het filter al voldoende informatie heeft om te anticiperen op wat er gaat gebeuren. Als er een piek in het midden van het signaal zou worden geplaatst, zou het filter daar niet op anticiperen. Hier “een heel interessant artikel hierover: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Reacties

• Als je ” picture a … ” zegt, zou een echte afbeelding echt nuttig zijn hier.

Voor degenen die nog steeds niet het verschil kunnen maken, is hier een eenvoudig voorbeeld

Neem een lange transmissielijn met een eenvoudig quasi-sinusvormig signaal met een amplitude-omhullende, $ a (t) $ , aan de ingang ervan

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Als je dit signaal meet bij de transmissie regeleinde, $ y (t) $ , kan het ergens als volgt komen:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

waarbij $ \ phi $ het faseverschil is van invoer tot output.

Als je wilt hoeveel tijd er nodig is in de fase van de sinusoïde, $ \ sin (\ omega t) $ overdracht van invoer naar uitvoer en vervolgens $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ is uw antwoord in seconden.

Als u wilt hoeveel tijd er nodig is, gebruikt u de envelop , $ a (t) $ , van de sinusoïde transmissie van invoer naar uitvoer en vervolgens $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ is uw antwoord in seconden.

Fasevertraging is slechts reistijd voor een enkele frequentie terwijl groepsvertraging is een maat voor amplitudevervorming als een array van meerdere frequenties wordt toegepast.

Ik weet dat dit een mooie oude vraag, maar ik ben op zoek geweest naar een afleiding van de uitdrukkingen voor groepsvertraging en fasevertraging op internet. Er zijn niet veel van dergelijke afleidingen op het net, dus ik dacht dat ik “zou delen wat ik vond. Merk ook op dat dit antwoord meer een wiskundige beschrijving is dan een intuïtieve. Voor intuïtieve beschrijvingen verwijzen we je naar de bovenstaande antwoorden. Dus, hier gaat:

Laten we eens kijken naar een signaal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

en geef dit door een LTI systeem met frequentierespons

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

We hebben de versterking van het systeem als eenheid beschouwd, omdat we geïnteresseerd zijn in het analyseren van hoe het systeem de fase van het ingangssignaal verandert, in plaats van de versterking. Nu, aangezien vermenigvuldiging in tijdsdomein overeenkomt met convolutie in frequentiedomein, wordt de Fourier-transformatie van het ingangssignaal gegeven door

$$ X (j \ omega) = {1 \ boven 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

wat neerkomt op

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Daarom heeft de output van het systeem een frequentiespectrum gegeven door

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ meer dan 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Om de inverse Fourier-transformatie van de bovenstaande uitdrukking te vinden, hebben we de exacte analytische vorm nodig voor $ \ phi (\ omega) $ . Om de zaken te vereenvoudigen, nemen we aan dat de frequentie-inhoud van $ a (t) $ alleen de frequenties omvat die aanzienlijk lager zijn dan de draaggolffrequentie $ \ omega_0 $ . In dit scenario kan het signaal $ x (t) $ worden gezien als een amplitudegemoduleerd signaal, waarbij $ a (t ) $ vertegenwoordigt de omhullende van het hoogfrequente cosinussignaal. In het frequentiedomein bevat $ B (j \ omega) $ nu twee smalle frequentiebanden gecentreerd rond $ \ omega_0 $ en $ – \ omega_0 $ (verwijs naar de bovenstaande vergelijking).Dit betekent dat we een Taylor-reeksuitbreiding van de eerste orde kunnen gebruiken voor $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

waarbij $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Door dit in te pluggen, kunnen we de inverse Fourier-transformatie van de eerste helft van $ B (j \ omega) $ berekenen als

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Vervanging van $ \ omega – \ omega_0 $ voor $ \ omega “$ , dit wordt

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega “)) e ^ {j ((\ omega” + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega “$$

wat vereenvoudigt tot

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

De uitdrukkingen voor $ \ alpha $ en $ \ beta $ , dit wordt

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Evenzo de andere helft van de inverse Fourier-transformatie van $ B (j \ omega) $ kan worden verkregen door $ \ omega_0 $ te vervangen door $ – \ omega_0 $ . Merk op dat voor echte signalen $ \ phi (\ omega) $ een vreemde functie is, dit wordt

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Aldus door de twee bij elkaar op te tellen, krijgen we $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Let op de vertragingen in de envelop $ a (t) $ en het cosinus-signaal van de draaggolf. Groepsvertraging $ (\ tau_g) $ komt overeen met de vertraging in de envelop terwijl fasevertraging $ (\ tau_p) $ komt overeen met de vertraging in de drager. Dus

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

De fasevertraging van een filter is de hoeveelheid tijdvertraging die elke frequentiecomponent ondervindt bij het passeren van de filters (als een signaal uit meerdere frequenties bestaat.)

De groep vertraging is de gemiddelde tijdsvertraging van het samengestelde signaal opgelopen bij elke frequentiecomponent.