Wat zijn FOCs en SOCs?

Stel dat je een differentieerbare functie $ f (x) $ hebt, die je wilt optimaliseren door $ x $ te kiezen. Als $ f (x) $ nut of winst is, dan wil je $ x $ (d.w.z. verbruiksbundel of geproduceerde hoeveelheid) kiezen om de waarde van $ f $ zo groot mogelijk te maken. Als $ f (x) $ een kostenfunctie is, dan wil je $ x $ kiezen om $ f $ zo klein mogelijk te maken. FOC en SOC zijn voorwaarden die bepalen of een oplossing een bepaalde functie maximaliseert of minimaliseert.

Op het undergrad-niveau is wat meestal het geval is dat u $ x ^ * $ moet kiezen zodat de afgeleide van $ f $ gelijk is aan nul: $$ f “(x ^ *) = 0. $$ Dit is de FOC. De intuïtie voor deze voorwaarde is dat een functie zijn extremum (maximum of minimum) bereikt wanneer zijn afgeleide gelijk is aan nul (zie onderstaande afbeelding). [U moet zich ervan bewust zijn dat er meer zijn subtiliteiten die erbij betrokken zijn: zoek termen op als “interieur versus hoekoplossingen”, “globaal versus lokaal maximum / minimum” en “zadelpunt” voor meer informatie].

Zoals de afbeelding illustreert, is het simpelweg vinden van $ x ^ * $ where $ f “(x ^ *) = 0 $ echter niet voldoende om te concluderen dat $ x ^ * $ de oplossing is die de doelfunctie maximaliseert of minimaliseert. In beide grafieken bereikt de functie een helling van nul bij $ x ^ * $, maar $ x ^ * $ is een maximalisator in de linkergrafiek, maar een minimalisator in de rechtergrafiek.

Om te controleren of $ x ^ * $ een maximizer of een minimizer is, heb je de SOC nodig. De SOC voor maximizer is $$ f “” (x ^ *) < 0 $$ en de SOC voor minimizer is $$ f “” (x ^ *) > 0. $$ Intuïtief, als $ x ^ * $ $ f $ maximaliseert, neemt de helling van $ f $ rond $ x ^ * $ af. Neem de linker grafiek, waar $ x ^ * $ een maximalisator is. We zien dat de helling van $ f $ positief is aan de linkerkant van $ x ^ * $ en negatief aan de rechterkant. Dus rond de buurt van $ x ^ * $, als $ x $ toeneemt, neemt $ f “(x) $ af. De intuïtie voor het geval van minimizer is vergelijkbaar.

Opmerkingen

• Maar waarom wordt het ' niet genoemd " Eerste afgeleide test " is nog steeds een mysterie voor mij.

Bijvoorbeeld als je het hebt over winstmaximalisatie uitgaande van een winstfunctie $ \ pi (q) $, de belangrijkste voorwaarde voor een maximum is dat: $$ \ frac {\ partiële \ pi} {\ partiële q} = 0 $$ Dit is de FOC (eerste orde voorwaarde).

Om er zeker van te zijn dat wat u hierboven hebt gevonden een waar maximum is, moet u ook een “secundaire” voorwaarde controleren, namelijk: $$ \ frac {\ partiële ^ 2 \ pi} {\ partiële q ^ 2} < 0 $$ Dit wordt de SOC (second order condition) genoemd.

Het doel is om een lokaal maximum (of minimum) van een functie te vinden.

Als de f unction is tweemaal differentieerbaar:

• De eerste afgeleide test zal je vertellen of het een lokaal extremum is.
• De tweede afgeleide test zal u vertellen of het een lokaal maximum of een minimum is.

Voor het geval u functie is niet differentieerbaar, u kunt een meer algemene extremum test doen.

Opmerking: het is onmogelijk om een algoritme te construeren om een globaal maximum voor een willekeurige functie .

Neoklassieke economen hernoemen die twee wiskundige methoden zeker in eerste orde voorwaarden en tweede orde voorwaarden om er cool uit te zien of om andere historische redenen. Waarom zou je een veelgebruikte naam gebruiken als je er maar een kunt verzinnen?

De term wordt ook gebruikt op beperkte maximalisatie wanneer ze de Lagrange-multiplier -methode en Karush-Kuhn-Tucker-voorwaarden . Nogmaals, ik denk niet dat de term wordt gebruikt door niet-economen.