Ik las dat de canonieke commutatierelatie tussen momentum en positie kan worden gezien als de Lie Algebra van de Heisenberg-groep . Hoewel ik begrijp waarom de commutatierelaties van momentum en momentum, momentum en impulsmoment enzovoort voortkomen uit de Lorentz-groep, snap ik niet waar de fysieke symmetrie van de Heisenberg-groep vandaan komt.
Alle suggesties?
Reacties
- Gerelateerd: physics.stackexchange.com/q/19029/2451
Answer
Misschien wil je zien:
http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf hoofdstuk 13,
dwz de lezingen “Quantum Mechanics for Mathematicians: The Heisenberg group and the Schrodinger Representation “door Peter Woit, waarin de betekenis van de Heisenberg-groep in detail wordt besproken. Maar de fysieke betekenis ervan is NIET als een groep symmetrieën van de fysieke situatie. Wees dus voorzichtig met strakke analogieën tussen de canonieke commutatierelatie en de eindige ( zeg $ n $ ) dimensionale Hiesenberg Lie-groep $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Het ding op de RHS van de relatie $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ in de eindig-dimensionale algebra $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ is NIET de identiteitsmatrix – het is gewoon iets dat pendelt met al het andere in de Lie-algebra. Het was Hermann Weyl die erop wees dat de canonieke commutatierelatie niet kan verwijzen naar een eindig-dimensionale Lie-algebra: in dergelijke algebras is een Lie-haakje $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (tussen vierkante matrices) heeft geen spoor, maar de identiteitsmatrix (of een scalair veelvoud, zoals op de RHS van de CCR) niet. Men moet doorgeven aan operators op oneindig dimensionale Hilbert-spaties ( $ eg $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) om de volledige realisatie van de canonieke commutatierelatie te vinden.
Een andere manier om te begrijpen dat het gedrag van de eindig-dimensionale matrix Heisenberg Lie-algebra radicaal verschilt van de CCR is het onzekerheidsprincipe zelf. Het product van RMS-onzekerheden voor simulatane metingen van twee niet-woon-werkwaarnemingen $ \ hat {a}, \ hat {b} $ gegeven een kwantumtoestand $ \ psi $ wordt van onderaf begrensd door het positieve reële getal $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ waarbij $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (zie sectie 10.5 van editie 3 van Merzbacher “Quantum Mechanics”). Als $ c $ een eindige vierkante matrix is en, zoals in de Heisenberg-algebra, geen volledige rijrang heeft, zijn er bepaalde toestanden (die in $ c $ “s nullspace) waar het onzekerheidsproduct nul kan zijn. Dus de eindig-dimensionale matrixalgebra kan het fysieke postulaat van Heisenberg niet modelleren.
Zie ook het Wikipedia-artikel over de Heisenberg-groep.
Opmerkingen
- Kleine opmerking bij het antwoord (v2): het teken in de weergegeven Schroedinger-weergave van $ p $ is niet het conventionele teken.