Is het mogelijk om de wet van Gauss van elektromagnetisme te gebruiken (de netto elektrische flux door een gesloten oppervlak is gelijk aan $ 1⁄ \ epsilon $ maal de netto elektrische lading die binnen dat oppervlak is omsloten.) om het gravitatieveld op een bepaald punt te berekenen door bepaalde veranderingen aan te brengen, dwz door elektrische flux te vervangen door gravitatieflux, $ 1⁄ \ epsilon $ met $ 1 / (4 \ pi \, G) $, en belast met massa?
Reacties
- Zie bijv. Wikipedia .
Antwoord
Ja, je kunt de wet van Gauss gebruiken voor zwaartekracht.
$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$
of
$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$
waarbij $ \ vec {g} $ het zwaartekrachtveld is (equivalent, versnelling vanwege de zwaartekracht), $ \ rho $ is massadichtheid, en $ M_ \ mathrm {enc} $ is de totale massa omsloten door het Gaussische oppervlak.
Wanneer je de vergelijking maakt n naar de wet van Gauss voor elektrische velden, kun je zien hoe de constanten werken zoals ze doen:
$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$
dus $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.
Een algemeen gebruik van de wet van Gauss voor zwaartekracht is het bepalen van de zwaartekrachtveldsterkte op een bepaalde diepte in de aarde. Het lijkt erg op de berekening voor het elektrische veld in een geladen, isolerende bol.
Opmerkingen
- In mijn oorspronkelijke bericht heb ik de constanten verknoeid … opgelost
- Inderdaad de nauwe overeenkomst tussen flux van het veld in Einstein ' s behandeling voor Newton ' s voor een sferisch symmetrisch zwak veld kan worden aangetoond met behulp van deze Gauss ' Law-benadering.
Answer
De Gauss-wet voor zwaartekracht zegt in feite dat de totale zwaartekrachtflux die afkomstig is van een bol die de aarde omsluit $ 4 \ pi GM $ is.
Deel dit nu door het totale oppervlak van de bol $ 4 \ pi R ^ 2 $ met $ R $ de straal van de aarde.
Het resultaat is $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ met de zwaartekrachtflux dichtheid. Als u het numerieke resultaat berekent, krijgt u $ 9,81 \ mathrm {m / s ^ 2} $ .