Zijn Futures precies Delta One?

Forward delta is 1 (gedefinieerd als verandering in de waarde van de forward met betrekking tot een onmiddellijke verandering in de prijs van het onderliggende, waarbij al het andere constant wordt gehouden).

Voor een zinvolle bespreking van de verschillen in forward- en futures-prijsstelling moet echter rekening worden gehouden met de termijnprijsdelta van forwards en deze is exp (r (Tt)). Hoewel de delta van beide identiek is De waarde van een portefeuille met een termijncontract versus futures-contract zal in de loop van de tijd veranderen en dit is de reden waarom: Het verschil komt voort uit het feit dat de rentetarieven niet constant maar willekeurig zijn en dat termijncontracten OTC-producten zijn die op de vervaldag worden afgewikkeld, terwijl futures dagelijks worden afgewikkeld. Dit subtiele verschil leidt tot verschillende kasstromen omdat geld dat op uw rekening wordt gestort of dat u moet ophoesten vanwege dagelijkse marge-afrekeningen, kan worden geïnvesteerd / moet worden geleend tegen de geldende rentetarieven.

Als het onderliggende proces van disconteringsvoet en het proces van de onderliggende activaprijs bijvoorbeeld positief gecorreleerd zijn, zullen de rentetarieven bij stijgende activaprijzen omgekeerd lager zijn en moeten overschotten die dagelijks op uw rekening worden gestort, worden belegd. tegen lagere tarieven. Het tegenovergestelde, wanneer activaprijzen dalen, moet u variatiemarge storten en moet u tegen hogere tarieven lenen. Daarom moet het futurescontract in dit voorbeeld lager geprijsd zijn dan het termijncontract om het futurescontract even aantrekkelijk te maken.

Reacties

• Bedankt Matt. Maar als we de dagelijkse marge voor de toekomst op dit moment vergeten? … Kunnen we afleiden hoe delta niet precies = 1 is uit de formule: f = waarde van Future contract = S (t = 0) – K exp (-rT)? Ik neem de afgeleide van f, r komt van de rentecurve is een getal / float voor een bepaalde t (zeker na verloop van tijd is het ‘ s geen constante, maar we lezen wel een getal af van de opbrengst kromme). Ik kan ‘ niet zien waarom de eerste afgeleide van de tweede term met betrekking tot S n ‘ t precies nul is.
• De delta voor een aanvaller is niet 1. Het ‘ s exp (r (Tt)) als een toekomst.
• Ik ben het daar niet mee eens. Kun je me alsjeblieft door je afleiding van de voorwaartse delta leiden? U moet de waardeverandering terugdraaien, vandaar dat exp (r (T-t)) wordt geannuleerd.
• @Matt Wolf. Aangezien u het ermee eens bent dat de termijnprijs de contante prijs met korting is, moet het duidelijk zijn dat de delta niet 1 kan zijn. De financieringskosten om de spot te kopen, veranderen met de contante prijs met korting. De delta is daarom de kortingsfactor.
• Ik heb mijn antwoord aangepast om het nauwkeuriger te maken wanneer beoefenaars naar een voorwaartse delta verwijzen als 1 en wanneer ze het definiëren als exp (r (T-t)). Over het algemeen wordt echter rekening gehouden met een termijndelta van 1, omdat de meeste handelaren zich bezighouden met veranderingen in waarderingen en met het opzetten van nauwkeurige afdekkingen en niet met hoe termijnprijzen in de toekomst veranderen (het verschil tussen de prijs en de waarde van een termijncontract is belangrijk).

Ik denk dat er verwarring bestaat over de termijnprijs en de waarde van een termijncontract. Een termijncontract verplicht een uitwisseling van activa op een later tijdstip $ T $. Volgens afspraak heeft dit termijncontract de beginwaarde nul (op het moment $ 0 $).Het termijncontract, dat een inruil van activa is voor een vast bedrag in dollars in de toekomst, heeft voor ongeveer $ t \ in [0, T] $ een waarde van $ f (t, T) = S_t-Ke ^ {- r (Tt)} $. Dit contract heeft duidelijk een delta gelijk aan één.

Beschouw nu het probleem van de “juiste” prijs $ K $ op tijdstip nul. Volgens afspraak is $ f (0, T) = 0 $. Als je de vergelijking $ S_t-Ke ^ {- r (T-t)} $ gebruikt en K op $ t = 0 $ oplost, krijg je $ K = S_0e ^ {rT} $.

$ K $ is niet tijdsafhankelijk: het staat vast op tijd nul. Op het tijdstip $ t $ kan echter een ander termijncontract worden gestart met een looptijd van $ T $. Hetzelfde argument als hierboven levert de prijs op van $ K $ op het moment $ t $ van $ S_t e ^ {r (T-t)} $. Om deze afhankelijkheid van $ K $ van $ t $ expliciet te laten zien, laat ik $ F (t, T) $ nu de waarde van $ K $ aangeven voor een termijncontract met vervaldatum $ T $ geïnitieerd op tijdstip $ t $. Aangezien $ F (t, T) = S_t e ^ {r (T-t)} $ is de “delta” van $ F (t, T) $ $ e ^ {r (T-t)} $.

Het is belangrijk op te merken dat $ F (t, T) $ geen asset is: de contante waarde van $ F (t, T) $ is immers duidelijk geen martingaal onder het risico- neutrale maatregel. Het is natuurlijker om de delta van het termijncontract te nemen, wat een troef is.

Op tijdstip $ t $ is de prijs van een futurescontract met een looptijd op het moment $ T $

$ F (t, T) = S (t) e ^ {r (Tt)}, $

waarbij $ S (t) $ de spotprijs is op het moment $ t $ en $ r $ is het rentetarief. De delta van het futures-contract is dus

$ \ frac {\ partiële F} {\ partiële S} = e ^ {r (T-t)}. $

Voor $ r > 0 $ hebben we daarom $ \ gedeeltelijke F / \ gedeeltelijke S > 1 $ voor $ t < T $.

Reacties

• F (t, T) = S ( t) er (T − t) is hoe je ” fair ” toekomstige / doorlopende prijs berekent. Maar zodra u een contract aangaat, wordt de toekomstige / termijnprijs constant K. Zowel K als r zijn niet de functie van S. Als u de eerste afgeleide neemt van f = [Waarde van toekomstig contract] = verschil tussen Spot en PV (K) = S (t = 0) – K exp (-rT) … eerste term = 1,0 exact, en de tweede term moet naar nul gaan (As K / r / T alle constant met betrekking tot S)
• Ik ‘ weet niet wat je bedoelt met ” de prijs wordt constant “. Het is duidelijk dat de prijs van het futures-contract dat u bezit de huidige eerlijke prijs is van het futures-contract (in een efficiënte markt).
• Bedankt RPG, maar dat deed ik niet ‘ zeg niet ” Prijs wordt constant “. Ik zei dat K (forward / future prijs) van een bepaald toekomstig contract dat je innam een constant getal is. Zodra u een contract aangaat, kunt u ‘ niet K. wijzigen.
• Maar RPG bedankt voor uw moeite!
• De prijs van een futurescontract dat is ontstaan op $ t $ is $ S_t – F (t, T) e ^ {- r (Tt)} $. De ” toekomstige prijs ” is $ F (t, T) = S_t e ^ {r (Tt)} $ zodat het contract bij oorsprong heeft nulwaarde. De delta van een futurescontract is dus 1.

Voor Termijncontract , ik ben het eens met @Matt dat de delta precies één is .

Dit kan worden gezien door het gebruikelijke argument zonder arbitrage, waarbij lang 1 termijncontract, short 1 onderliggend, en de korte verkoopprocedure investeert in geldrekening op tijdstip 0. Dan zal bij termijnvervaldag T alles zijn verrekend met nul P & L. (dwz gebruik geldrekening bij T om termijnprijsbetaling F uit te betalen, onderliggend te krijgen en deze te gebruiken om shortsell-positie te sluiten.)

Zoals gedurende de hele levensduur van deze zelffinancierende hedgingportefeuille, verkoop ik slechts 1 onderliggend, daarom is de afdekking op elk moment precies delta één.

Voor Futures-contract is de afdekking echter niet precies delta één, maar exp {r (Tt)}

Voor een longpositie in Futurescontracten worden de tussentijdse kasstromen van gemarkeerde -to-market gaat naar de geldrekening. Dit deel zal groeien met risicovrije rente (ervan uitgaande dat het niet willekeurig is). Daarom is er geen afdekking om in aanmerking te komen voor deze kasstromen, aangezien het geen stochastische term is. (hoewel het wel van invloed is op de Futures-prijs zoals @Matt aangaf vanwege de correlatie tussen rente en onderliggende waarde, maar het is een andere vraag.)

De enige stochastische term in een longpositie in Futures, is de verandering van Futures prijs (men kan aantonen dat dF = sigma F dB). Het is bekend dat F = S * exp {r (T-t)}. Voor elke verandering van 1 eenheid van S, verandert de Futures-prijs met exp {r (T-t)}, en dat draagt bij aan de verandering in waarde van de Futures-positie.

De delta van het Futures-contract is dus exp {r (Tt)}

Omdat de delta tijdsafhankelijk is, is de hedge zal dynamisch zijn en moet regelmatig worden aangepast aan de hedge-positie, in vergelijking met een statische hedge van forward-positie (altijd delta één).

Ik heb nog een bewijs van mijn professor, maar ik denk dat ik dat alleen privé kan delen. 🙂

Kijkend naar het bericht – het lijkt erop dat het de definitie van delta zelf is, niet de details van de formules , dat is anders

Ik dacht dat de delta de verhouding was tussen de verandering in waarde van de afgeleide en de verandering in de dezelfde (eenheid) hoeveelheid van de onderlaag

Het bericht lijkt te zeggen dat de delta de verhouding is tussen de verandering van de afgeleide en de verandering in het equivalent bedrag van de ondergeschikte

Opmerkingen

• De verwarring omdat @RPG de termijnprijs en het contract ten onrechte door elkaar heeft gehaald. Termijnprijs is geen derivaat, maar termijncontract wel.